Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abscissa x_{0} nos casos:
f(x)=1 / x^{2}, x_{0}=2

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x_{0}=2. O conteúdo utilizado será o conceito de derivada para obter a inclinação da tangente e a fórmula da reta no formato ponto-inclinação.

Passo 2

Calculamos a derivada de
f(x)=\frac1{x^{2}}=x^{-2},
usando a regra de potência:
f'(x) = -2\,x^{-3} = -\frac{2}{x^{3}}.

Passo 3

Avaliamo-s f em x_{0}=2:
f(2)=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}.

Passo 4

Obtemos a inclinação m da reta tangente em x_{0}=2:
m = f'(2) = -\frac{2}{2^{3}} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}.

Passo 5

Usamos a fórmula ponto-inclinação da reta tangente em \bigl(2,\tfrac14\bigr):
y - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}\,\bigl(x - 2\bigr).
Agora simplificamos:
y - \frac{1}{4} = -\frac{x}{4} + \frac{2}{4} \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{x}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{x}{4} + \frac{3}{4}.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -\frac{x}{4} + \frac{3}{4}.

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