Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abscissa x_{0} nos casos:
f(x)=\sqrt[3]{x} ; x_{0}=2

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de
f(x)=\sqrt[3]{x}
no ponto de abscissa x_{0}=2.
O conteúdo envolve derivação (regra do poder) e a forma ponto-inclinação da reta tangente.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando a regra do poder:
f(x)=x^{1/3} \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}.

Passo 3

Agora avaliamos f e f' em x_{0}=2:
f(2)=\sqrt[3]{2}=2^{1/3}, \qquad f'(2)=\frac{1}{3}\,2^{-2/3}.

Passo 4

A reta tangente na forma ponto-inclinação é
y - f(2) = f'(2)\,(x-2).
Substituindo os valores encontrados, fica
y - 2^{1/3} = \frac{1}{3}\,2^{-2/3}\,(x - 2).

Passo 5

Se quisermos exprimir em forma y=mx+b, basta desenvolver:
y = \frac{1}{3}\,2^{-2/3}\,x \;+\; \Bigl(2^{1/3}-\tfrac{2}{3}\,2^{-2/3}\Bigr).
Observando que
2^{1/3}-\tfrac{2}{3}\,2^{-2/3} =\tfrac{2}{3}\,2^{1/3},
podemos também escrever
y = \frac{1}{3}\,2^{-2/3}\,x \;+\;\frac{2}{3}\,2^{1/3}.

Resposta

\boxed{\,y - 2^{1/3} = \frac{1}{3}\,2^{-2/3}\,(x - 2)\,}.

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