Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=3 x^2 no ponto (2, f(2)).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=3x^2 no ponto (2,f(2)). Este problema envolve derivadas para encontrar o coeficiente angular da reta tangente e, em seguida, usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor de f no ponto x=2. Substituindo, temos f(2)=3cdot2^2=12, então o ponto de tangência é (2,12).
Em seguida, derivamos a função para obter a inclinação da reta tangente. Como f(x)=3x^2, sua derivada é f'(x)=6x.

Passo 3

Avalíamos a derivada no ponto x=2 para encontrar o coeficiente angular: m=f'(2)=6cdot2=12.

Passo 4

Agora, usamos a fórmula da reta tangente no ponto (x0,y0):
y - y0 = m(x - x0)
Por fim, substituímos x0=2, y0=12 e m=12 na fórmula:
y - 12 = 12(x - 2)
Simplificando, obtemos y=12x-12.

Resposta

y = 12x - 12

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