Encontre a solução geral de cada equação diferencial abaixo.
(x sen x) y^prime+(sen x+x cos x) y=x e^x, x in] 0, pi[.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem linear
(xsin x),y'+(sin x + xcos x),y = x e^x, xin,]0,pi[
O conteúdo é equações diferenciais lineares de 1ª ordem e vamos precisar usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão y'+P(x)y = Q(x) dividindo ambos os lados por xsin x. Assim obtemos:
y' + (1x+cot x)y = e^xsin x
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P(x)=1x+cot x, Q(x)=e^xsin x

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral(1x+cot x)dx = e^ln x + ln(sin x) = xsin x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=xsin x e reconhecemos que o lado esquerdo vira a derivada de mu(x)y:
ddxl(xsin x,yr) = xsin xcdot e^xsin x = x e^x
Integrando ambos os lados:
xsin x,y = integral x e^x dx = x e^x - e^x + C

Passo 5

Por fim isolamos y:
y(x) = x e^x - e^x + Cxsin x = e^x(x-1) + Cxsin x

Resposta

y(x) = \frac{e^x(x-1) + C}{x\sin x}

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