Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=raiz1+sen(x)1-sen(x) no ponto P=(0,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de
f(x)=raiz1+sin(x)1-sin(x) no ponto P=(0,1). Vamos usar derivada de funções compostas e, para facilitar, a derivada logarítmica.

Passo 2

Para encontrar f'(x), definimos y=f(x) e aplicamos ln dos dois lados:
ln y = tfrac12l[ln(1+sin x)-ln(1-sin x)r]
Derivando em relação a x, usando regra da cadeia e ddxln u = u'/u:
y'y = tfrac12l(cos x1+sin x + cos x1-sin xr)
Somando as frações e lembrando que 1-sin^2x=cos^2x:
y'y = tfrac122cos xcos^2x = 1cos x = sec x
Logo
y' = ysec x = raiz1+sin x1-sin x;sec x

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x=0. Como sin0=0, temos y(0)=1 e
f'(0)=1cdotsec0=1cdot1=1

Passo 4

Com coeficiente angular m=f'(0)=1 e passando por (0,1), a equação da reta tangente é
y-1 = 1,(x-0)
e, portanto,
y = x + 1

Resposta

y = x + 1

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