somente se,
.
Passo 1
O enunciado diz que y é a função argcosh de x se, e somente se, cosh(y)=x. O conteúdo aqui é funções hiperbólicas inversas, e vamos precisar usar a definição de cosh em termos de exponenciais para resolver para y.
Passo 2
Escrevemos a definição de cosseno hiperbólico em termos de exponenciais: cosh(y) = (e^y + e^{-y})/2. Substituindo cosh(y)=x, temos
Multiplicamos os dois lados por 2 para eliminar o denominador:
$$
e^y + e^{-y} = 2x
z + \frac{1}{z} = 2x
z^2 + 1 = 2x z
z^2 - 2x z + 1 = 0
z = \frac{2x \pm \sqrt{(2x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{2x \pm 2\sqrt{x^2 - 1}}{2} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$$
Como z = e^y > 0, escolhemos o sinal “+”: z = x + \sqrt{x^2 - 1}.
Como z = e^y > 0, escolhemos o sinal “+”: z = x + \sqrt{x^2 - 1}.
Passo 3
Tirando logaritmo natural em ambos os lados para achar y:
$$
y = \ln(z) = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)$$