y=argcosech(x) se, e somente se, cosech(y)=x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a expressão de y=argcosech(x), ou seja, achar y em função de x a partir da condição cosech(y)=x. Vamos precisar usar a relação entre cosech e sinh, e depois aplicar a inversa arcsinh.

Passo 2

Por definição de hiperbólica, cosech(y)=1/sinh(y). Então a equação cosech(y)=x vira
sinh(y)=1x

Passo 3

Agora aplicamos a função inversa de sinh, que é arcsinh(z)=lnl(z+raiz1+z^2r). Substituindo z=1/x, obtemos
y=arcsinhl(tfrac1xr)=lnl(tfrac1x+raiz1+tfrac1x^2r)

Passo 4

Para simplificar o radical, note que
raiz1+tfrac1x^2=raiz1+x^2|x|

Passo 5

Logo podemos reescrever y como
y=lnl(1+raiz1+x^2|x|r), com domínio xneq0. Essa é a forma explícita de argcosech(x).

Resposta

argcosech(x)=lnl(tfrac1x+raiz1+tfrac1x^2r)

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