Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=3 x^2-5 x+1 no ponto P(2,3)

Passo 1

A função é f(x)=3x^2-5x+1 e o ponto dado é P(2,3). O conteúdo aqui é cálculo de derivada para achar a inclinação da reta tangente e depois usar a forma ponto-inclinação para montar a reta.

Passo 2

Primeiro vamos achar a derivada de f(x). Como f(x) é um polinômio, usamos a regra ddx[ax^n]=a n x^n-1. Logo,
f'(x)=6x-5

Passo 3

Agora calculamos a inclinação da reta tangente em x=2. Basta substituir na derivada:
f'(2)=6cdot2-5=12-5=7

Passo 4

Com a inclinação m=7 e o ponto (2,3), usamos a forma ponto-inclinação y-y0=m(x-x0). Assim,
y-3=7(x-2)

Passo 5

Finalmente, basta isolar y para obter a forma reduzida da reta:
y=7x-14+3
y=7x-11

Resposta

A equação da reta tangente é y=7x-11.

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