Nos exercícios a seguir, calcular a derivada das funções
f(t)=e^t / 2(t^2+5 t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=e^t/2l(t^2+5tr)
O conteúdo aqui é aplicar a regra do produto e, para a parte e^t/2, usar a regra da cadeia para derivar uma exponencial.

Passo 2

Pela regra do produto, se f(t)=u(t),v(t), então
f'(t)=u'(t),v(t)+u(t),v'(t)
Tomando
u(t)=e^t/2, v(t)=t^2+5t,
temos
f'(t)=ddtl(e^t/2r),(t^2+5t) +e^t/2,ddtl(t^2+5tr)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
– Para a exponencial, pela regra da cadeia,
ddtl(e^t/2r) =underbraceddtl(t/2r)=1/2,e^t/2 =tfrac12,e^t/2
– Para o polinômio,
ddtl(t^2+5tr)=2t+5

Passo 4

Substituindo esses resultados em f'(t):
f'(t) =tfrac12,e^t/2(t^2+5t) +e^t/2(2t+5)
Fatorando e^t/2 em ambas as parcelas:
f'(t) =e^t/2l(tfract^2+5t2+2t+5r) =e^t/2,t^2+5t+4t+102 =e^t/2,t^2+9t+102

Resposta

f'(t)=e^t/2,(t^2+9t+10)2

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