- Definir o conceito de continuidade de uma função. Citar exemplos
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que significa dizer que uma função é contínua e, em seguida, darmos exemplos. O conteúdo aqui envolve o conceito de limite e a definição
–
de continuidade em um ponto, além de extensão para intervalos ou domínios.
Passo 2
Definimos continuidade em um ponto por meio de limites. Seja
e seja
. Dizemos que
é contínua em
se, e somente se,
Intuitivamente, isso significa que a imagem de
por
se aproxima de
sempre que
se aproxima de
.
Passo 3
A definição formal
–
reforça essa ideia:
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
então
Passo 4
Estendendo para todo o domínio, dizemos que
é contínua em
ou simplesmente contínua quando ela é contínua em cada ponto
. Em particular, se
for um intervalo, falamos que
é contínua nesse intervalo.
Passo 5
Exemplos de funções contínuas:
- [f(x)=x^2) é contínua em
porque é polinomial. -
é contínua em pois funções trigonométricas são contínuas em todo o domínio. -
é contínua em , pois é uma razão de funções contínuas onde o denominador não anula.
Exemplo de função com descontinuidade:
- A função escada , pois
.
Resposta
Uma função
é contínua em
se
ou, formalmente, se para todo
existe
tal que
implica
. Dizemos que
é contínua em
quando essa condição vale para todo
.
Exemplos:
contínua em
,
contínua em
,
contínua em
.
Exemplo de descontinuidade: a função escada se
,
se
, que é descontínua em
.
Exemplo de descontinuidade: a função escada