1. Definir o conceito de continuidade de uma função. Citar exemplos

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que significa dizer que uma função é contínua e, em seguida, darmos exemplos. O conteúdo aqui envolve o conceito de limite e a definição epsilon de<a de continuidade em um ponto, além de extensão para intervalos ou domínios.

Passo 2

Definimos continuidade em um ponto por meio de limites. Seja fcolon DsubseteqRtoR e seja ain D. Dizemos que f é contínua em a se, e somente se,
limxto af(x)=f(a)
Intuitivamente, isso significa que a imagem de x por f se aproxima de f(a) sempre que x se aproxima de a.

Passo 3

A definição formal epsilon de<a reforça essa ideia: f é contínua em a se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que
|x - a|<de<a e xin D,
então
|f(x)-f(a)|<varepsilon

Passo 4

Estendendo para todo o domínio, dizemos que f é contínua em D ou simplesmente contínua quando ela é contínua em cada ponto ain D. Em particular, se D for um intervalo, falamos que f é contínua nesse intervalo.

Passo 5

Exemplos de funções contínuas:
  • [f(x)=x^2) é contínua em porque é polinomial.
  • é contínua em pois funções trigonométricas são contínuas em todo o domínio.
  • é contínua em , pois é uma razão de funções contínuas onde o denominador não anula.
Exemplo de função com descontinuidade:
  • A função escada , pois .

Resposta

Uma função fcolon DsubseteqRtoR é contínua em ain D se
limxto af(x)=f(a),
ou, formalmente, se para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que |x-a|<de<a implica |f(x)-f(a)|<varepsilon. Dizemos que f é contínua em D quando essa condição vale para todo ain D.
Exemplos:
f(x)=x^2 contínua em R,
g(x)=sin(x) contínua em R,
h(x)=1/x contínua em Rsetminus0.
Exemplo de descontinuidade: a função escada H(x)=0 se x<0, H(x)=1 se x>=0, que é descontínua em x=0.

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