Use derivação implícita para obter d y / d x.
x^3+y^3-3 x y=0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação:
x^3 + y^3 - 3xy = 0
Queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , usando derivação implícita. Para isso, vamos aplicar as regras de derivação, lembrando que é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a ddx(x^3) = 3x^2. Começamos com :

Passo 3

Agora, derivamos ddx(y^3) = 3y^2 cdot dydx. Como é uma função de , usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Em seguida, derivamos ddx(-3xy) = -3(ddx(x) cdot y + x cdot dydx) = -3(y + x cdot dydx). Aqui usamos a regra do produto:

Passo 5

Derivando o lado direito da equação, que é zero:
ddx(0) = 0

Passo 6

Juntando todas as derivadas, temos:
3x^2 + 3y^2 cdot dydx - 3y - 3x cdot dydx = 0

Passo 7

Vamos isolar os termos que contêm 3y^2 cdot dydx - 3x cdot dydx = -3x^2 + 3y:

Passo 8

Fatorando dydx(3y^2 - 3x) = -3x^2 + 3y do lado esquerdo:

Passo 9

Finalmente, isolamos dydx = -3x^2 + 3y3y^2 - 3x dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando:

Resposta

Simplificando, dividindo numerador e denominador por 3:
dydx = y - x^2y^2 - x

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