Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) no ponto de abscissa a indicado.
f(x)=1x^2, em a=2

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=1x^2 no ponto de abscissa a=2. O tema é derivada de função e aplicação da fórmula da reta tangente, que exige calcular f'(x), avaliar em x=2 para obter o coeficiente angular e usar o ponto correspondente.

Passo 2

Para encontrar o coeficiente angular da reta tangente, usamos a derivada de f(x). Aplicando a regra do expoente (ou power rule), escrevemos
f'(x)=ddxl(x^-2r)=-2x^-3

Passo 3

Agora avaliamos a derivada no ponto x=2 para obter o coeficiente angular m:
m=f'(2)=-2cdot2^-3=-2cdot18=-14

Passo 4

Em seguida, calculamos o valor de f(2), que será a ordenada do ponto de tangência:
f(2)=12^2=14

Passo 5

Por fim, usamos a fórmula da reta tangente em ponto (a,f(a)):
y - f(a)=ml(x - ar)

Passo 6

Substituindo a=2, f(2)=1/4 e m=-1/4:
y - 14=-14(x - 2)

Passo 7

E simplificando para a forma explícita:
y=-14x+34

Resposta

y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}

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