Determine f circ g e g circ f e encontre seus domínios.
f(x)=(2 x+x^2)^4, g(x)=cos ^2 x

Passo 1

O enunciado pede para achar as composições fcirc g e gcirc f e seus domínios. O conteúdo envolvido é composição de funções, e vamos precisar lembrar que (fcirc g)(x)=f(g(x)) e que o domínio de fcirc g é o conjunto de x que estão no domínio de g e tais que g(x) esteja no domínio de f).

Passo 2

Por definição, temos
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)
e
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)

Passo 3

Para calcular fcirc g, substituímos g(x)=cos^2 x em f. Assim,
f(g(x))=l(2,g(x)+(g(x))^2r)^4=l(2cos^2 x+cos^4 xr)^4

Passo 4

O domínio de fcirc g é dado pelos x tais que x pertence ao domínio de g (que é R) e g(x) está no domínio de f (que também é R). Logo,
Dom(fcirc g)= R

Passo 5

Para calcular gcirc f, substituímos f(x)=(2x+x^2)^4 em g. Assim,
g(f(x))=cos^2l((2x+x^2)^4r)

Passo 6

O domínio de gcirc f é o conjunto de x que estão no domínio de f (que é R) e tais que f(x) pertença ao domínio de g (que é R). Logo,
Dom(gcirc f)= R

Resposta

(f\circ g)(x)=\bigl(2\cos^2 x+\cos^4 x\bigr)^4, Dom(f\circ g)=\mathbb R; (g\circ f)(x)=\cos2\bigl((2x+x2)^4\bigr), Dom(g\circ f)=\mathbb R.

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