integral1^3(x^2+5 x+6) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida aí: integral1^3(x^2+5x+6) dx. Esse exercício pertence ao cálculo integral, mais especificamente à integração de polinômios. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a antiderivada do polinômio dentro da integral e depois calcular o valor entre os limites 1 e 3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integrar um polinômio significa encontrar uma função cuja derivada seja o polinômio dado. Isso é chamado de antiderivada ou primitiva. No nosso caso, precisamos encontrar a antiderivada de x^2+5x+6.

Passo 3

Vamos integrar termo por termo. A regra básica é que a integral de x^n em relação a x é x^n+1n+1, onde n não é igual a -1. Para constantes, a integral de uma constante a é a cdot x.

Passo 4

Aplicando essa regra aos termos do polinômio:
  • A integral de x^2 é x^33.
  • A integral de 5x é 5 cdot x^22 = 5x^22.
  • A integral de 6 é 6x.
Então, a antiderivada de x^2+5x+6 é x^33 + 5x^22 + 6x.

Passo 5

Agora, temos que avaliar essa antiderivada nos limites de integração, que são de 1 a 3. Isso significa que vamos calcular o valor da antiderivada em 3 e subtrair o valor dela em 1.

Passo 6

Vamos calcular em 3:
3^33 + 5 cdot 3^22 + 6 cdot 3 = 273 + 452 + 18 = 9 + 22,5 + 18 = 49,5
Agora, em 1:
1^33 + 5 cdot 1^22 + 6 cdot 1 = 13 + 52 + 6 = 13 + 2,5 + 6 = 8 56 ou 8,166

Passo 7

Subtraindo os dois valores:
49,5 - 8,166 = 41,333

Resposta

O valor da integral integral1^3(x^2+5x+6) dx é aproximadamente 41,33.

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