Fatore completamente: 2 x^{2}-8 x

Passo 1

O enunciado pede para fatorar completamente o polinômio 2 x^{2}-8 x.
Informações dadas:
  • O polinômio é 2 x^{2}-8 x.
  • Deve-se escrever esse polinômio como um produto de fatores (fatoração completa).

Passo 2

Entender o objetivo: fatorar é escrever como produto. A técnica mais simples aqui é retirar o fator comum a todos os termos (fator comum). Lembrete útil (propriedade distributiva, que usaremos “ao contrário”):
a(b+c)=ab+ac.
Ao fatorar fazemos o processo inverso: identificamos um termo d tal que cada termo do polinômio seja múltiplo de d, e escrevemos
\text{polinômio} = d(\text{resto}).ô

Passo 3

Identificar o fator comum numérico entre os coeficientes 2 e -8. Calcular o máximo divisor comum:
\gcd(2,-8)=2,
porque 2 divide both 2 e -8. Então o fator numérico comum é 2.

Passo 4

Identificar o fator comum em termos de variável. Os dois termos são 2x^{2} e -8x. Ambos contêm pelo menos uma potência x^{1}, logo o fator variável comum é x. Assim o fator comum total é
2x.

Passo 5

Fatorar retirando 2x de cada termo. Para ver o que sobra em cada um:
  • 2x^{2} = 2x\cdot x,
  • -8x = 2x\cdot(-4).
Portanto
2x^{2}-8x = 2x\bigl(x-4\bigr).

Passo 6

Verificar a fatoração multiplicando de volta (checagem rápida):
2x\bigl(x-4\bigr)=2x\cdot x - 2x\cdot 4 = 2x^{2}-8x,
que coincide com o polinômio original. Além disso, o fator x-4 é de grau 1 e não pode ser fatorado mais (sobre os inteiros), então a fatoração está completa.

Resposta

2x(x-4)

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