(ELETRONUCLEAR - 2010) O radioisótopo { }_{53}^{131} I, que é produzido em um reator nuclear, tem uma meia-vida de 8 dias. No instante da remessa desse radiofármaco para um laboratório médico, a sua atividade era de 6 m C i e, no instante do recebimento no laboratório, a atividade era de 5 mCi . A saber, a equação que rege o comportamento do decaimento da massa (e consequentemente da atividade) de isótopos radioativos é na forma
\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{~d} t}=-\lambda N
Onde \lambda representa a constante de desintegração. O intervalo de tempo entre os instantes da remessa e do recebimento do radiofármaco, em dias, foi, aproximadamente
(A) 6
(B) 5
(C) 4
(D) 3
(E) 2

Passo 1

O enunciado trata do decaimento radioativo do _{53}^{131}I com meia-vida de 8 dias, regido pela equação diferencial
\displaystyle \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda N.
No envio a atividade era 6 mCi e, na recepção, caiu para 5 mCi. Queremos achar o intervalo de tempo entre esses instantes.

Passo 2

A solução geral de
\displaystyle \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda N
é
N(t)=N_{0}\,e^{-\lambda t},
onde N_{0} é a quantidade inicial e t o tempo decorrido.

Passo 3

A constante de desintegração \lambda relaciona-se à meia-vida T_{1/2} por
T_{1/2}=\frac{\ln2}{\lambda} \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{\ln2}{T_{1/2}}=\frac{\ln2}{8\text{ dias}}.

Passo 4

Igualando N(t)=5 mCi e N_{0}=6 mCi:
5=6\,e^{-\lambda t} \quad\Longrightarrow\quad e^{-\lambda t}=\frac{5}{6} \quad\Longrightarrow\quad -\lambda t=\ln\!\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad t=-\frac{1}{\lambda}\ln\!\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr).
Como \lambda=\ln2/8,
t=-\frac{8}{\ln2}\,\ln\!\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr) \approx-\frac{8}{0,6931}(-0,1823) \approx2,10\text{ dias}.

Resposta

A alternativa correta é a (E), ou seja, aproximadamente 2 dias.

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