Universidade Federal do Pará (UFPA) <br> Instituto de Tecnologia (ITEC) <br> Faculdade de Engenharias Elétrica e Biomédica (FEEB) <br> Avaliação de Funções Especiais para Engenharia
Docente: Nilton Rodolfo N. M. Rodrigues
Discente:
Matrícula:
Data: 05/05/2023
Expanda a função
numa série de Fourier no intervalo .
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Fourier de uma função ímpar definida por partes no intervalo (-π,π):
Conteúdo: Série de Fourier em funções periódicas. Precisaremos usar as fórmulas dos coeficientes a₀, aₙ e bₙ e as propriedades de paridade.
Passo 2
Como f(x) satisfaz f(-x) = -f(x), concluímos que ela é ímpar. Numa série de Fourier isso implica que a₀ = 0 e todos os coeficientes aₙ (dos cossenos) são zero. Restam apenas os termos em seno:
Passo 3
O coeficiente geral bₙ para uma função ímpar é dado por
Mas, por simetria e paridade, isso reduz-se a
pois em (0,π) f(x)=x².
Passo 4
Vamos calcular
Fazemos integração por partes com u = x² e dv = sin(nx) dx, então du = 2x dx e v = -cos(nx)/n. Resulta:
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In = -pi^2 (-1)^nn + 2n J
onde
J = integral0^pi x cos(nx),dx
Passo 5
Para calcular J, outra integração por partes: u = x, dv = cos(nx) dx, então du = dx e v = sin(nx)/n. Assim: