Universidade Federal do Pará (UFPA) <br> Instituto de Tecnologia (ITEC) <br> Faculdade de Engenharias Elétrica e Biomédica (FEEB) <br> 1^a Avaliação de Funções Especiais para Engenharia

Docente: Nilton Rodolfo N. M. Rodrigues
Discente:
Matrícula:
Data: 05/05/2023
Expanda a função
f(x)= -x^2, & -pi <= x<0 x^2, & 0 <= x <= pi
numa série de Fourier no intervalo -pi.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Fourier de uma função ímpar definida por partes no intervalo (-π,π):
Conteúdo: Série de Fourier em funções periódicas. Precisaremos usar as fórmulas dos coeficientes a₀, aₙ e bₙ e as propriedades de paridade.

Passo 2

Como f(x) satisfaz f(-x) = -f(x), concluímos que ela é ímpar. Numa série de Fourier isso implica que a₀ = 0 e todos os coeficientes aₙ (dos cossenos) são zero. Restam apenas os termos em seno:
f(x) = sumn=1^infty bn sin(nx)

Passo 3

O coeficiente geral bₙ para uma função ímpar é dado por
bn = 1pi integral-pi^pi f(x) sin(nx),dx
Mas, por simetria e paridade, isso reduz-se a
bn = 2pi integral0^pi x^2 sin(nx),dx
pois em (0,π) f(x)=x².

Passo 4

Vamos calcular
In = integral0^pi x^2 sin(nx),dx
  1. Fazemos integração por partes com u = x² e dv = sin(nx) dx, então du = 2x dx e v = -cos(nx)/n. Resulta:
In = -x^2 cos(nx)n |0^pi + 2n integral0^pi x cos(nx),dx
Logo
In = -pi^2 (-1)^nn + 2n J
onde
J = integral0^pi x cos(nx),dx

Passo 5

Para calcular J, outra integração por partes: u = x, dv = cos(nx) dx, então du = dx e v = sin(nx)/n. Assim:
J = x sin(nx)n |0^pi - 1n integral0^pi sin(nx),dx
Como sin(npi)=0 e
integral0^pi sin(nx),dx = 1 - (-1)^nn,
tenho
J = -1 - (-1)^nn^2

Passo 6

Substituindo J em Iₙ:
In = -pi^2(-1)^nn - 2n cdot 1 - (-1)^nn^2 = -pi^2(-1)^nn - 2(1 - (-1)^n)n^3
Então
bn = 2pi In = -2pi(-1)^nn - 4l(1 - (-1)^nr)pi n^3

Passo 7

Finalmente, a série de Fourier fica
f(x) = sumn=1^infty l(-2pi(-1)^nn - 4l(1 - (-1)^nr)pi n^3r) sin(nx)

Resposta

f(x)=sumn=1^inftyl(-2pi(-1)^nn-4l(1-(-1)^nr)pi n^3r)sin(nx)

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