Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto com a abscissa a indicada:
f(x)=x^3+2 x ; a=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = x^{3} + 2x $ no ponto onde $ x = 1 $. Vamos precisar usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e, depois, usar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ f(1) $. Isso significa substituir $ x $ por 1 na função:
f(1)
Então, o ponto de tangência é $ (1, 3) $.

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada da função $ f(x) $, que vai nos dar a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 1 $. A derivada de $ f(x) = x^{3} + 2x $ é:
f(x)

Passo 4

Vamos calcular a inclinação da reta tangente substituindo $ x = 1 $ na derivada:
x = 1
Então, a inclinação da reta tangente é 5.

Passo 5

Com a inclinação $ m = 5 $ e o ponto de tangência $ (1, 3) $, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
m = 5
Substituindo os valores:
(1, 3)

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma padrão:
y - 3 = 5x - 5 y = 5x - 5 + 3 y = 5x - 2

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de $ f(x) = x^{3} + 2x $ no ponto onde $ x = 1 $ é $ y = 5x - 2 $.

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