Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto com a abscissa a indicada:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = x^{3} + 2x $ no ponto onde $ x = 1 $. Vamos precisar usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e, depois, usar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ f(1) $. Isso significa substituir $ x $ por 1 na função:
Então, o ponto de tangência é $ (1, 3) $.
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada da função $ f(x) $, que vai nos dar a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 1 $. A derivada de $ f(x) = x^{3} + 2x $ é:
Passo 4
Vamos calcular a inclinação da reta tangente substituindo $ x = 1 $ na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 5.
Passo 5
Com a inclinação $ m = 5 $ e o ponto de tangência $ (1, 3) $, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para a forma padrão:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de $ f(x) = x^{3} + 2x $ no ponto onde $ x = 1 $ é $ y = 5x - 2 $.