Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto com a abscissa a indicada:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ h(x) = \frac{x}{1 + \sqrt{x}} $ no ponto onde a abscissa $ a = 4 $. Para isso, vamos usar noções de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as coordenadas do ponto onde a tangente vai tocar o gráfico. Sabemos que a abscissa é $ a = 4 $, então precisamos calcular $ h(4) $.
Então, o ponto de tangência é $ (4, \frac{4}{3}) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. A inclinação é dada pela derivada da função $ h(x) $ avaliada em $ x = 4 $. Vamos calcular $ h’(x) $.
Primeiro, reescrevemos $ h(x) $ para facilitar a derivação:
Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar.
Derivando $ h(x) $:
Simplificando:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da derivada para facilitar a avaliação em $ x = 4 $:
Substituindo $ x = 4 $:
Simplificando:
Então, a inclinação da reta tangente é $ \frac{2}{9} $.
Passo 5
Com a inclinação $ m = \frac{2}{9} $ e o ponto de tangência $ (4, \frac{4}{3}) $, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para a forma mais comum $ y = mx + b $:
Convertendo $ \frac{4}{3} $ para novésimos:
Então:
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = \frac{2}{9}x + \frac{4}{9} $.