Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto com a abscissa a indicada:
h(x)=x1+raizx ; a=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ h(x) = \frac{x}{1 + \sqrt{x}} $ no ponto onde a abscissa $ a = 4 $. Para isso, vamos usar noções de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as coordenadas do ponto onde a tangente vai tocar o gráfico. Sabemos que a abscissa é $ a = 4 $, então precisamos calcular $ h(4) $.
a = 4
Então, o ponto de tangência é $ (4, \frac{4}{3}) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. A inclinação é dada pela derivada da função $ h(x) $ avaliada em $ x = 4 $. Vamos calcular $ h’(x) $.
Primeiro, reescrevemos $ h(x) $ para facilitar a derivação:
h(x)
Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar.
Derivando $ h(x) $:
x = 4
Simplificando:
h'(x)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da derivada para facilitar a avaliação em $ x = 4 $:
x = 4
Substituindo $ x = 4 $:
h'(x) = 11 + raizx - x2(1 + raizx)^2 raizx
Simplificando:
x = 4
Então, a inclinação da reta tangente é $ \frac{2}{9} $.

Passo 5

Com a inclinação $ m = \frac{2}{9} $ e o ponto de tangência $ (4, \frac{4}{3}) $, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
m = 29
Substituindo os valores:
(4, 43)

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma mais comum $ y = mx + b $:
y = mx + b
Convertendo $ \frac{4}{3} $ para novésimos:
y = 29x - 89 + 43
Então:
43

Resposta

A equação da reta tangente é $ y = \frac{2}{9}x + \frac{4}{9} $.

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