Seja g(x) uma função real, derivável até a 3^a ordem para todo x real, tal que g(0)=g^prime(0)=0 e g^prime prime(0)=16. Se f(x) é uma função real definida por f(x)=cg(x)2 x se x neq 0 0 se x=0, então f^prime(0) é igual a: 16

Passo 1

Temos uma função g(x), derivável até a terceira ordem, com g(0)=g′(0)=0 e g′′(0)=16. Definimos f(x)=g(x)/(2x) para x≠0 e f(0)=0. O conteúdo envolve derivada em ponto usando limites e expansão de Taylor.

Passo 2

Para calcular f′(0) usamos a definição de derivada: f′(0)=limₓ→0 (f(x)−f(0))/x. Como f(0)=0, obtemos f′(0)=limₓ→0 g(x)/(2x²). Precisamos da expansão de Taylor de g até a segunda ordem dominante. Como g(0)=g′(0)=0 e g′′(0)=16,
g(x)=g(0)+g(0)x+g(0)2x²+g(0)6x³+o(x³)=8x²+g(0)6x³+o(x³) ²³³²³³

Passo 3

Substituindo em g(x)/(2x²):
g(x)2x²=8x²+g(0)6x³+o(x³)2x²=4+g(0)12x+o(x) ²²³³²

Passo 4

Fazendo x→0, o termo extra some e ficamos com f′(0)=4.

Resposta

4

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