Seja
uma função real, derivável até a
ordem para todo x real, tal que
e
. Se
é uma função real definida por
, então
é igual a: 16
Passo 1
Temos uma função g(x), derivável até a terceira ordem, com g(0)=g′(0)=0 e g′′(0)=16. Definimos f(x)=g(x)/(2x) para x≠0 e f(0)=0. O conteúdo envolve derivada em ponto usando limites e expansão de Taylor.
Passo 2
Para calcular f′(0) usamos a definição de derivada: f′(0)=limₓ→0 (f(x)−f(0))/x. Como f(0)=0, obtemos f′(0)=limₓ→0 g(x)/(2x²). Precisamos da expansão de Taylor de g até a segunda ordem dominante. Como g(0)=g′(0)=0 e g′′(0)=16,
Passo 3
Substituindo em g(x)/(2x²):
Passo 4
Fazendo x→0, o termo extra some e ficamos com f′(0)=4.
Resposta
4