Encontre a série de Laurent de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a série de Laurent da função $ f(z) = \frac{e^{z}}{z - 1} $ no caso onde $ 0 < |z - 1| $. Aqui, estamos trabalhando com séries de Laurent, que são como as séries de Taylor, mas que permitem termos com potências negativas, o que é útil para funções com singularidades. Para resolver isso, vamos precisar expandir a função em torno de $ z = 1 $ e manipular as séries para chegar na forma desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto de expansão, que nesse caso é $ z = 1 $, já que a condição dada é $ 0 < |z - 1| $. Isso significa que queremos desenvolver a série em torno desse ponto específico.
Passo 3
Vamos reescrever a função $ e^{z} $ de forma que fique centrada em $ z = 1 $. Podemos fazer isso assim:
Isso facilita porque agora temos a função exponencial em termos de $ (z - 1) $, que é o que precisamos para a expansão.
Passo 4
Agora, vamos expandir $ e^{z - 1} $ em uma série de Taylor centrada em $ z = 1 $:
Essa é a série padrão da exponencial, onde $ n! $ é o fatorial de $ n $.
Passo 5
Substituindo essa série na nossa função original:
Podemos simplificar isso multiplicando $ \frac{1}{z - 1} $ pela série:
Isso já é uma série de Laurent, pois temos termos com potências negativas de $ (z - 1) $ quando $ n = 0 $.
Resposta
A série de Laurent de $ f(z) = \frac{e^{z}}{z - 1} $ para $ 0 < |z - 1| $ é: