Considere a curva , onde .
Encontre a curvatura k em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma curva definida por no intervalo . A gente precisa encontrar a curvatura dessa curva no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as derivadas da curva e a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da posição , que é . A derivada nos dá a velocidade do ponto na curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, . A segunda derivada nos dá a aceleração do ponto na curva.
Passo 4
Com e em mãos, vamos calcular o produto vetorial . Esse produto nos ajuda a encontrar a medida de quão rápido a direção da curva está mudando, que está relacionada à curvatura.
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a norma (ou módulo) desse produto vetorial:
Passo 6
Também precisamos da norma da primeira derivada :
Agora, elevando essa norma ao cubo:
Passo 7
Por fim, aplicamos a fórmula da curvatura:
Vamos avaliar isso no ponto :
Calculando as normas em :
Na verdade:
E:
Portanto:
Resposta
A curvatura da curva no ponto onde é ou aproximadamente .