Considere a curva r(t) = (3 t^2, 6 t, 3 ln(t)), onde 1 <= t <= 3.
Encontre a curvatura k em t = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma curva definida por no intervalo . A gente precisa encontrar a curvatura dessa curva no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as derivadas da curva e a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da posição , que é . A derivada nos dá a velocidade do ponto na curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, . A segunda derivada nos dá a aceleração do ponto na curva.

Passo 4

Com e em mãos, vamos calcular o produto vetorial . Esse produto nos ajuda a encontrar a medida de quão rápido a direção da curva está mudando, que está relacionada à curvatura.
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a norma (ou módulo) desse produto vetorial:

Passo 6

Também precisamos da norma da primeira derivada :
Agora, elevando essa norma ao cubo:

Passo 7

Por fim, aplicamos a fórmula da curvatura:
Vamos avaliar isso no ponto :
Calculando as normas em :
Na verdade:
E:
Portanto:

Resposta

A curvatura da curva no ponto onde é ou aproximadamente .

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