Determine a seguinte integral indefinida, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
O exercício pede primeiro para calcular a integral indefinida de
e depois examinar a integral imprópria de 2 a 3. Vamos usar teoria de completar quadrado, substituição simples e substituição trigonométrica.
Passo 2
Observamos o radicando
. Fazendo o quadrado completo em
temos
Isso transforma o integrando em
.
Passo 3
Para simplificar ainda mais, definimos a mudança de variável
, de modo que
. A integral vira
Passo 4
Agora aplicamos a substituição trigonométrica clássica para
: definimos
. Então
e
. O integrando torna-se
Passo 5
Sabendo que
, obtemos
Passo 6
Voltando para
e depois para
:
logo
Passo 7
Para a integral imprópria de 2 a 3, notamos que o integrando só é real quando
, isto é
. O intervalo
está fora desse domínio, então não há valor real da integral e ela não converge.
Passo 8
Resposta
A integral indefinida é
A integral imprópria de 2 a 3 não converge em valores reais, pois o integrando não está definido nesse intervalo.