Determine a seguinte integral indefinida, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral 1(x+1)^2 raiz3-2 x-x^2 d x
Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral2^3 1(x+1)^2 raiz3-2 x-x^2 d x

Passo 1

O exercício pede primeiro para calcular a integral indefinida de f(x)=1(x+1)^2raiz3-2x-x^2 e depois examinar a integral imprópria de 2 a 3. Vamos usar teoria de completar quadrado, substituição simples e substituição trigonométrica.

Passo 2

Observamos o radicando 3-2x-x^2. Fazendo o quadrado completo em -x^2-2x+3 temos
3-2x-x^2=4-(x+1)^2
Isso transforma o integrando em 1(x+1)^2raiz4-(x+1)^2.

Passo 3

Para simplificar ainda mais, definimos a mudança de variável t=x+1, de modo que dt=dx. A integral vira
integraldtt^2raiz4-t^2

Passo 4

Agora aplicamos a substituição trigonométrica clássica para raiza^2-t^2: definimos t=2sintheta. Então dt=2costheta,dtheta e raiz4-t^2=2costheta. O integrando torna-se
integral2costheta,dtheta(2sintheta)^2,(2costheta) =integral2costheta4sin^2theta,2costheta,dtheta =14integralcsc^2theta,dtheta

Passo 5

Sabendo que integralcsc^2theta,dtheta=-cottheta+C, obtemos
14integralcsc^2theta,dtheta=-14cottheta+C

Passo 6

Voltando para t e depois para x:
cottheta=costhetasintheta=raiz4-t^2t,
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-14cottheta=-14cdotraiz4-(x+1)^2x+1 =-raiz3-2x-x^24(x+1)+C

Passo 7

Para a integral imprópria de 2 a 3, notamos que o integrando só é real quando 3-2x-x^2>=0, isto é -3<= x<=1. O intervalo [2,3] está fora desse domínio, então não há valor real da integral e ela não converge.

Passo 8

Resposta

A integral indefinida é
integraldx(x+1)^2raiz3-2x-x^2=-raiz3-2x-x^24(x+1)+C
A integral imprópria de 2 a 3 não converge em valores reais, pois o integrando não está definido nesse intervalo.

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