Determine y^prime ou f^prime(x) em cada um dos itens:
f(x)=cos (ln (x^3+1))+2^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=cos(ln(x3+1))+2x
ou seja, vamos usar conteúdo de derivadas de funções compostas (regra da cadeia), derivada de ln, derivada de cos e derivada de a^x.

Passo 2

Seja f(x)=g(x)+h(x) com g(x)=cos(u) onde u=ln(x^3+1). Pela regra da cadeia temos
ddxg(x)=g'(x)= -sin(u)cdot u'
e
u'=ddxln(x^3+1)=1x^3+1cdot3x^2=3x^2x^3+1
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ddxl[cos(ln(x^3+1))r]= -sin(ln(x^3+1))cdot3x^2x^3+1

Passo 3

Para h(x)=2^x usamos a fórmula ddxa^x=a^xln(a). Assim
ddxl[2^xr]=2^xln(2)
Somando as duas partes obtemos a derivada final.

Resposta

f’(x)= -\frac{3x2}{x3+1},\sin\bigl(\ln(x3+1)\bigr)+2x\ln2

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