Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=\ln \left(e^{2 x}+\sin x+3 x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(e^{2x}+\sin x+3x\bigr).
Aqui vamos aplicar a regra da cadeia para funções do tipo \ln(u(x)) e usar as derivadas conhecidas de e^{2x}, \sin x e 3x.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=e^{2x}+\sin x+3x.
Como f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr), a regra da cadeia diz que
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Temos:
– A derivada de e^{2x} é, pela regra do expoente,
\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}.
– A derivada de \sin x é \cos x.
– A derivada de 3x é 3.
Somando,
u'(x)=2e^{2x}+\cos x+3.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) na fórmula de f'(x), obtemos
f'(x) =\frac{2e^{2x}+\cos x+3}{\,e^{2x}+\sin x+3x\,}.

Resposta

f'(x)=\frac{2e^{2x}+\cos x+3}{e^{2x}+\sin x+3x}.

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