Determine a equação da reta tangente em (p, f(p)) sendo dados:
d) f(x)=x^2-1 e p=1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a equação da reta tangente no ponto (p, f(p)) para a função f(x) = x^2 - 1, onde p = 1. O conteúdo envolve derivadas, que são usadas para encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f(p) substituindo p por 1 na função f(x).
f(1) = (1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0
Então, o ponto de tangência é (1, 0).

Passo 3

Para achar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada da função f(x). A derivada f'(x) nos dá a taxa de variação da função em relação a x, ou seja, a inclinação da curva em qualquer ponto x.
A função dada é:
f(x) = x^2 - 1
A derivada de f(x) em relação a x é:
f'(x) = 2x

Passo 4

Agora, substituímos x por p = 1 na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto específico.
f'(1) = 2 times 1 = 2
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto (1, 0) é 2.

Passo 5

Com a inclinação m = 2 e o ponto de tangência (1, 0), podemos usar a fórmula da reta para determinar a equação da reta tangente. A fórmula é:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo m = 2, x1 = 1 e y1 = 0:
y - 0 = 2(x - 1)

Passo 6

Simplificando a equação para a forma mais comum:
y = 2x - 2

Resposta

A equação da reta tangente é:
y = 2x - 2

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