(1,0) Considere o domínio Omega=(x, y): 1 <= x^2+y^2 <= 4, y >=-x e y >= 1raiz3 x.
Enuncie o Teorema de mudança de variável.

Passo 1

O enunciado pede para apresentar o Teorema de mudança de variável em integrais duplas, tema de cálculo de múltiplas integrais. Para isso precisamos conhecer o conceito de difeomorfismo de classe C¹ e o determinante do jacobiano da transformação.

Passo 2

O Teorema de mudança de variável afirma que, se UsubsetR^2 é aberto e T:Uto VsubsetR^2 é um difeomorfismo de classe C¹ (isto é, bijetiva, contínua, inversa contínua e com derivadas contínuas), então para qualquer função integrável f:VtoR vale

Passo 3

Resposta

Seja T(u,v)=(x(u,v),y(u,v)) um difeomorfismo de classe C¹ de um aberto UsubsetR^2 sobre VsubsetR^2. Então, para toda função integrável f:VtoR, temos
integralVf(x,y),dx,dy=integralUfl(T(u,v)r),l|det DT(u,v)r|,du,dv
Em geral, no caso R^n, se T:UsubsetR^nto VsubsetR^n é difeomorfismo de classe C¹, então
integralVf(x),dx=integralUfl(T(u)r),l|det DT(u)r|,du

Exercícios relacionados