Verifique se cada uma das equações a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva-a.
x y^2+y+(x^2 y+x) d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação x y^2+y+(x^2y+x)dydx=0 é exata e, em caso positivo, encontrar sua solução geral. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos precisar reescrever no formato M(x,y)+N(x,y),y'=0, testar exatidão via parciais e, depois, achar uma função potencial Psi(x,y).

Passo 2

Reescrevendo a equação no formato padrão, identificamos
M(x,y)=x y^{2}+y
N(x,y)=x^{2}y+x

Passo 3

Para testar exatidão calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=2xy+1
partial Npartial x=2xy+1
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Sabendo que existe Psi(x,y) tal que Psix=M e Psiy=N, integramos Psix=M em relação a x:
Psi(x,y)=integral(xy^2+y),dx=tfrac12x^2y^2+xy+h(y)

Passo 5

Agora impomos Psiy=N. Calculando
Psiy=x^2y+x+h'(y)
e igualando a N=x^2y+x vemos que h'(y)=0, logo h(y)=C é constante.

Passo 6

Portanto, a solução implícita geral é dada por
tfrac12x^2y^2+xy=C

Resposta

tfrac12x^2y^2+xy=C

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