Verifique se cada uma das equações a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva-a.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
é exata e, em caso positivo, encontrar sua solução geral. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos precisar reescrever no formato
, testar exatidão via parciais e, depois, achar uma função potencial
.
Passo 2
Reescrevendo a equação no formato padrão, identificamos
M(x,y)=x y^{2}+y
N(x,y)=x^{2}y+x
M(x,y)=x y^{2}+y
N(x,y)=x^{2}y+x
Passo 3
Para testar exatidão calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Sabendo que existe
tal que
e
, integramos
em relação a
:
Passo 5
Agora impomos
. Calculando
e igualando a
vemos que
, logo
é constante.
Passo 6
Portanto, a solução implícita geral é dada por