Verifique se cada uma das equações a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva-a.
e^x y(1+x y)+x^2 e^x y d yd x=0

Passo 1

A equação dada é e^xy(1+xy) + x^2 e^xy dydx = 0. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais exatas — vamos precisar identificar as funções M(x,y) e N(x,y), verificar se partial M/partial y = partial N/partial x e, se for exata, achar a função potencial.

Passo 2

Escrevemos a equação no formato M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. Aqui
  • M(x,y) = e^xy(1 + xy)
  • N(x,y) = x^2 e^xy

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
  • partial Mpartial y = partialpartial yl[e^xy(1+xy)r] = x e^xy(1+xy) + e^xyx = x e^xy(2+xy)
  • partial Npartial x = partialpartial xl[x^2 e^xyr] = 2x e^xy + x^2 e^xyy = x e^xy(2+xy)

Passo 4

Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que psix = M. Integramos M em relação a x:
psi(x,y) = integral e^xy(1+xy),dx = x e^xy + h(y)

Passo 6

Agora impomos psiy = N. Calculando:
psiy = partialpartial y[x e^xy + h(y)] = x^2 e^xy + h'(y),
e igualamos a N = x^2 e^xy. Logo h'(y)=0, ou seja, h(y) é constante.

Passo 7

Assim a solução geral implícita é
psi(x,y) = x e^xy = C,
onde C é constante.

Resposta

x e^xy = C

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