Determine a equação da reta tangente em (p, f(p)) sendo dados:
f(x)=x1+x e p=3

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva de função racional em um ponto específico. O conteúdo principal aqui é derivação (regra do quociente) para achar a inclinação, e depois usar a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Calcular o ponto em que tangencia: f(x)=\frac{x}{1+x}, para p=3 temos
f(3)=31+3=34

Passo 3

Calcular a derivada f’(x) usando a regra do quociente. Seja u(x)=x e v(x)=1+x, então u’ =1 e v’=1. Assim,
f'(x)=u'v - uv'v^2=1cdot(1+x)-xcdot1(1+x)^2=1+x-x(1+x)^2=1(1+x)^2

Passo 4

Avaliar a derivada no ponto x=3 para obter a inclinação da tangente:
f'(3)=1(1+3)^2=116

Passo 5

Montar a equação da reta na forma ponto-inclinação: y - f(3) = f’(3)(x - 3). Substituindo f(3)=3/4 e f’(3)=1/16,
y - 34=116(x - 3)

Passo 6

Isolar y para a forma reduzida:
y=116x - 316+34=116x - 316+1216=116x+916

Resposta

A equação da reta tangente em (3, f(3)) é y=116x+916

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