Usando as regras de derivação, calcule f^prime(x) de:
f(x)=2 x^3cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x)=2x^3cos(x). Isso envolve a regra do quociente, derivada de potência e derivada de função trigonométrica.

Passo 2

A regra do quociente diz que, se f(x)=dfracu(x)v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Aqui temos u(x)=2x^3 e v(x)=cos(x).

Passo 3

Vamos derivar cada parte:
u'(x)=ddx(2x^3)=6x^2,
v'(x)=ddx(cos(x))=-sin(x)

Passo 4

Substituindo na fórmula do quociente:
f'(x)=6x^2cdotcos(x)-2x^3cdot(-sin(x))cos^2(x) =6x^2cos(x)+2x^3sin(x)cos^2(x)

Passo 5

Para dar uma ajeitada, podemos fatorar 2x^2:
f'(x)=2x^23cos(x)+xsin(x)cos^2(x)

Resposta

f'(x)=6x^2cos(x)+2x^3sin(x)cos^2(x)

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