Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada.
r(x)=1x^2, x=-2

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função
r(x)=1x^2
no ponto de abscissa x=-2. Para isso, precisamos calcular a derivada r'(x) (que dá o coeficiente angular da tangente), avaliar essa derivada em x=-2 para obter o seu valor num ponto, e em seguida usar as fórmulas das retas tangente e normal.

Passo 2

Escrevemos r(x)=x^-2. Aplicando a regra do polinômio, a derivada geral é
r'(x) = -2,x^-3 = -2x^3

Passo 3

No ponto x=-2 temos primeiro
r(-2) = 1(-2)^2 = 14,
e o coeficiente angular da tangente é
r'(-2) = -2(-2)^3 = -2-8 = 14

Passo 4

A equação da reta tangente em l(x0,y0r)=(-2,tfrac14) com coeficiente angular m=tfrac14 é
y - 14 = 14l(x + 2r)
Se quisermos pôr na forma y=mx+b, expandimos:
y = 14x + 12 + 14 = 14x + 34

Passo 5

A reta normal tem coeficiente angular o negativo do inverso da tangente, ou seja
mnormal = -1m = -4
Logo, usando o mesmo ponto,
y - 14 = -4l(x + 2r),
que simplifica para
y = -4x - 8 + 14 = -4x - 314

Resposta

Reta tangente:
y = 14x + 34
Reta normal:
y = -4x - 314

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