Obtenha dez soluções para o problema
2 x y^prime=y-1, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2x dydx = y - 1
com a condição inicial y(0)=1. O conteúdo é equação de variáveis separáveis, mas note que em x=0 o coeficiente de dy/dx se anula, o que permite não unicidade de solução.

Passo 2

Reescrevemos em forma separável:
dyy - 1 = dx2x

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyy - 1 = integral dx2x
lnl|y - 1r| = tfrac12,lnl|xr| + C

Passo 4

Exponenciando, obtemos
l|y - 1r| = A,raizl|xr|,
onde A = e^C. Em geral, para x>=0 podemos escrever
y(x) = 1 + K,raizx,
com KinR. A condição y(0)=1 impõe apenas Kraiz0=0, que vale para qualquer K, gerando infinitas soluções.

Passo 5

Basta então escolher dez valores distintos de K para ter dez soluções diferentes.

Resposta

1. y(x)=1
2. y(x)=1 + raizx
3. y(x)=1 - raizx
4. y(x)=1 + 2raizx
5. y(x)=1 - 2raizx
6. y(x)=1 + 3raizx
7. y(x)=1 - 3raizx
8. y(x)=1 + 4raizx
9. y(x)=1 - 4raizx
10. y(x)=1 + 5raizx

Exercícios relacionados