Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada.
y=xx^3+1, x=1

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de
y = xx^3 + 1
no ponto de abscissa x=1. Para isso, precisamos
  1. Calcular a derivada y' usando a regra do quociente.
  2. Avaliar y' em x=1 para obter o coeficiente angular da tangente.
  3. Usar a forma ponto-declive para escrever as retas tangente e normal.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente em
y = uv, u(x)=x,;v(x)=x^3+1,
temos
u'(x)=1, v'(x)=3x^2,
y'(x) = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2 = 1cdot(x^3+1) - xcdot3x^2(x^3+1)^2 = x^3+1 - 3x^3(x^3+1)^2 = 1 - 2x^3(x^3+1)^2

Passo 3

Avaliaremos agora em x=1:
y(1) = 11^3+1 = 12, y'(1) = 1 - 2cdot1^3(1^3+1)^2 = 1-22^2 = -14

Passo 4

A reta tangente, na forma ponto-declive, é
y - y(1) = y'(1),(x - 1),
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y - 12 = -14(x - 1)

Passo 5

A reta normal tem coeficiente angular o negativo do inverso de y'(1), isto é,
mnormal = -1y'(1) = -1-tfrac14 = 4
Usando ponto-declive em (1,tfrac12),
y - 12 = 4,(x - 1)

Resposta

Tangente:
y - 12 = -14(x - 1)
Normal:
y - 12 = 4,(x - 1)

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