Determine o ponto onde a curva y=x^3 tem tangente paralela à reta tangente a mesma curva no ponto de abscissa x=4. Determine a equação da reta tangente neste ponto.

Passo 1

O enunciado pede o ponto da curva y = x^3 cuja reta tangente seja paralela à reta tangente no ponto de abscissa x=4. Para isso vamos precisar de derivada de y=x^3 e de conhecer a inclinação (coeficiente angular) da tangente em x=4.

Passo 2

Derivando y=x^3 obtemos
y' = 3x^2
Em x=4 a inclinação é
m = y'(4) = 3cdot 4^2 = 48

Passo 3

Para que outra reta tangente seja paralela, basta resolver
3x^2 = 48
que dá x^2 = 16, ou seja x = pm 4. O ponto dado é x=4, então o outro é x=-4. Seu valor de y é
y = (-4)^3 = -64

Passo 4

A reta tangente em (x0,y0)=(-4,-64) com inclinação m=48 satisfaz
y - (-64) = 48l(x - (-4)r)
Em forma explícita:
y = 48x + 128

Resposta

O ponto buscado é (-4,-64) e a reta tangente nele é
y = 48x + 128

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