Calcule a derivada de cada função.
58 y=ln (e^-x+x e^-x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ,y=lnl(e^-x+x,e^-xr). Aqui vamos usar as regras de derivação de logaritmo (cadeia) e de produto para simplificar e derivar o argumento.

Passo 2

Primeiro fatoramos o argumento do logaritmo:
e^-x+x,e^-x=e^-x(1+x)

Passo 3

Como ddxln(u)=u'u, temos
y'=ddxl[e^-x(1+x)r]e^-x(1+x)

Passo 4

Derivamos u(x)=e^-x(1+x) usando regra do produto:
u' = ddx[e^-x],(1+x)+e^-x,ddx[1+x] =(-e^-x)(1+x)+e^-xcdot1 =(-1-x+1)e^-x =-x,e^-x

Passo 5

Substituindo em y':
y'=-x,e^-xe^-x(1+x) =-,x1+x

Resposta

y'=-x1+x

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