Determine a equação da reta tangente e a reta normal ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada.
,
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a reta tangente e a reta normal ao seu gráfico no ponto de abscissa
. Para isso, vamos precisar calcular:
- A ordenada do ponto,
. - A derivada
e seu valor em . - A equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação.
- A equação da reta normal, cujo coeficiente angular é o oposto do inverso do coeficiente da tangente.
Passo 2
Calcular a ordenada do ponto de interesse:
Passo 3
Calcular a derivada de
e avaliá-la em
:
Passo 4
A equação da reta tangente em
com coeficiente angular
vem de
Simplificando:
Passo 5
O coeficiente angular da reta normal é
Usando o ponto
e ponto-inclinação,
Simplificando:
Resposta
Tangentemente:
Normalmente:
Normalmente: