Determine a equação da reta tangente e a reta normal ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada.
f(t)=1-t^2, t=3,

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=1-t^2 e pede a reta tangente e a reta normal ao seu gráfico no ponto de abscissa t0=3. Para isso, vamos precisar calcular:
  1. A ordenada do ponto, f(3).
  2. A derivada f'(t) e seu valor em t=3.
  3. A equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação.
  4. A equação da reta normal, cujo coeficiente angular é o oposto do inverso do coeficiente da tangente.

Passo 2

Calcular a ordenada do ponto de interesse:
f(3)=1-3^2=1-9=-8

Passo 3

Calcular a derivada de f e avaliá-la em t=3:
f'(t)=ddt(1-t^2)=-2t,
f'(3)=-2cdot3=-6

Passo 4

A equação da reta tangente em l(3,-8r) com coeficiente angular mtan=-6 vem de
y - (-8) = -6,(x-3)
Simplificando:
y + 8 = -6x + 18 Longrightarrow y = -6x + 10

Passo 5

O coeficiente angular da reta normal é
mnorm=-1mtan=-1-6=16
Usando o ponto l(3,-8r) e ponto-inclinação,
y - (-8) = 16,(x-3)
Simplificando:
y + 8 = tfrac16x - tfrac12 Longrightarrow y = tfrac16x - tfrac172

Resposta

Tangentemente: y = -6x + 10
Normalmente: y = tfrac16x - tfrac172

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