Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
∑n-1^∞ 6(0,9)^n-1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty6,(0,9)^,n-1
é convergente ou divergente, e caso seja convergente, calcular sua soma. O conteúdo aqui é séries geométricas, para as quais usamos o critério de convergência lvert rrvert<1 e a fórmula da soma.

Passo 2

Identificamos o primeiro termo a e a razão r da série geométrica:
a = 6,(0,9)^,1-1 = 6e r = 0,9

Passo 3

Aplicamos o critério de convergência de séries geométricas: se lvert rrvert<1, a série converge; se lvert rrvert>=1, diverge. Aqui
lvert rrvert = lvert 0,9rvert = 0,9 < 1,
logo a série é convergente.

Passo 4

Como a série converge, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Substituindo a=6 e r=0,9, temos
S = 61 - 0,9 = 60,1 = 60

Resposta

A série é convergente e sua soma é 60.

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