O custo para se beneficiar uma quantidade q de trigo é dada por C(q)=q^2+400, onde C é dado em reais (R$) e ) e é dado em toneladas (ton).
(a) Determine a taxa de variação média do custo para o intervalo é dado em toneladas (ton) (a) Determine a taxa de variação média do custo para o intervalo . Qual é o seu significado gráfico?
(b) Determine a taxa de variação do custo no instante Qual é o seu significado gráfico? (b) Determine a taxa de variação do custo no instante . Qual é o seu significado gráfico?

Passo 1

O enunciado nos dá a função de custo de beneficiar trigo
C(q) = q^2 + 400,
onde C está em reais e q em toneladas. Precisamos calcular
– a taxa de variação média de C no intervalo 1 <= q <= 5, e
– a taxa de variação instantânea de C no ponto q=2.
Em termos de cálculo, a taxa média é o coeficiente angular da reta secante e a taxa instantânea é a derivada, isto é, o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Calcular os valores de C nas extremidades do intervalo:
C(1) = 1^2 + 400 = 401,
C(5) = 5^2 + 400 = 425
A taxa de variação média de C em [1,5] é
C(5)-C(1)5-1 = 425 - 4014 = 244 = 6
Esse valor 6 representa a inclinação da reta secante ao gráfico de C(q) que une os pontos l(1,401r) e l(5,425r). Graficamente, indica que a cada tonelada adicional, em média, o custo aumenta em R$ 6.

Passo 3

Para a taxa de variação instantânea, calculamos a derivada de C:
C'(q) = ddql(q^2+400r) = 2q
No instante q=2,
C'(2) = 2cdot 2 = 4
O valor 4 é a inclinação da reta tangente ao gráfico de C(q) no ponto l(2,C(2)r) = (2,404). Graficamente, mostra que ali o custo cresce a uma taxa de R$ 4 por tonelada.

Resposta

(a) A taxa de variação média é (R$/ton), que é a inclinação da reta secante entre e .
(b) A taxa de variação instantânea em é (R$/ton), que é a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto .

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