Derive as funções.
y=sen^3(x^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar a função $ y = \sin{3}\left(x{2} + 1\right) $. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, mais especificamente usando a regra da cadeia e a regra do poder. Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar como derivar funções compostas e funções com expoentes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização. Podemos pensar em $ y $ como uma função composta: temos uma função externa $ u^{3} $ e uma função interna $ u = \sin(x^{2} + 1) $. Assim, nossa função fica $ y = u^{3} $.

Passo 3

Agora, para derivar $ y $ em relação a $ x $, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna. Matematicamente, isso é:
y

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, derivamos a função externa $ y = u^{3} $ em relação a $ u $:
y = u^3

Passo 5

Agora, derivamos a função interna $ u = \sin(x^{2} + 1) $ em relação a $ x $. Para isso, usamos novamente a regra da cadeia, já que temos uma função seno de uma função:
u = sin(x^2 + 1)

Passo 6

Vamos derivar $ x^{2} + 1 $ em relação a $ x $:
x^2 + 1
Então, substituindo de volta:
x

Passo 7

Agora, juntamos tudo usando a regra da cadeia:
dydx = dydu cdot dudx = 3u^2 cdot 2x cos(x^2 + 1)
Lembrando que $ u = \sin(x^{2} + 1) $, substituímos de volta:
u = sin(x^2 + 1)

Passo 8

Podemos simplificar a expressão multiplicando os coeficientes:
dydx = 6x sin^2(x^2 + 1) cos(x^2 + 1)

Resposta

A derivada da função $ y = \sin{3}\left(x{2} + 1\right) $ é:
y = sin^3(x^2 + 1)

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