Derive as funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar a função $ y = \sin{3}\left(x{2} + 1\right) $. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, mais especificamente usando a regra da cadeia e a regra do poder. Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar como derivar funções compostas e funções com expoentes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização. Podemos pensar em $ y $ como uma função composta: temos uma função externa $ u^{3} $ e uma função interna $ u = \sin(x^{2} + 1) $. Assim, nossa função fica $ y = u^{3} $.
Passo 3
Agora, para derivar $ y $ em relação a $ x $, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna. Matematicamente, isso é:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, derivamos a função externa $ y = u^{3} $ em relação a $ u $:
Passo 5
Agora, derivamos a função interna $ u = \sin(x^{2} + 1) $ em relação a $ x $. Para isso, usamos novamente a regra da cadeia, já que temos uma função seno de uma função:
Passo 6
Vamos derivar $ x^{2} + 1 $ em relação a $ x $:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, juntamos tudo usando a regra da cadeia:
Lembrando que $ u = \sin(x^{2} + 1) $, substituímos de volta:
Passo 8
Podemos simplificar a expressão multiplicando os coeficientes:
Resposta
A derivada da função $ y = \sin{3}\left(x{2} + 1\right) $ é: