Determine a equação da reta tangente em ( ) sendo dados:
e

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente a f(x)=e^xcos x no ponto l(x0,f(x0)r) com x0=0. Vamos usar o conceito de reta tangente, que requer conhecer f(x0) e a derivada f'(x0).

Passo 2

Calcular a derivada f'(x) usando a regra do produto: se f(x)=u(x),v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Aqui u(x)=e^x e v(x)=cos x, logo
u'(x)=e^x, v'(x)=-sin x
e portanto
f'(x)=e^xcos x + e^x(-sin x) =e^xl(cos x - sin xr)

Passo 3

Avaliar f(x0) e f'(x0) em x0=0:
f(0)=e^0cos0=1cdot1=1,
f'(0)=e^0l(cos0-sin0r)=1cdot(1-0)=1

Passo 4

A equação da reta tangente em l(0,1r) é dada por
y - f(0) = f'(0),(x - 0),
isto é,
y - 1 = 1cdot x Longrightarrow y = x + 1

Resposta

A reta tangente é
y = x + 1

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