Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=1^infty (-1)^n x^nn^2

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
sumn=1^infty(-1)^nx^nn^2
e pede o raio de convergência e o intervalo de convergência. Vamos usar o Teste da raiz (ou razão) para achar o raio e depois checar os extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicando o Teste da raiz, calculamos
limntoinftyraiz[n]|(-1)^nx^nn^2| =limntoinfty|x|n^2/n =|x|cdot1 =|x|
Para convergir, precisamos de |x|<1. Logo o raio de convergência é
R=1

Passo 3

Testando o extremo x=1, a série fica
sumn=1^infty(-1)^n,1^nn^2 =sumn=1^infty(-1)^nn^2
Como sum 1/n^2 converge (série p com p=2>1), esta converge absolutamente em x=1.

Passo 4

Testando o extremo x=-1, a série fica
sumn=1^infty(-1)^n(-1)^nn^2 =sumn=1^infty1n^2,
que também é uma série p com p=2>1 e converge absolutamente em x=-1.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é l[-1,1r].

Exercícios relacionados