Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede o raio de convergência e o intervalo de convergência. Vamos usar o Teste da raiz (ou razão) para achar o raio e depois checar os extremos
e
.
Passo 2
Aplicando o Teste da raiz, calculamos
Para convergir, precisamos de
|x|<1 . Logo o raio de convergência é
Passo 3
Testando o extremo
x=1 , a série fica
Como
sum 1/n^2 converge (série
p com
p=2>1 ), esta converge absolutamente em
x=1 .
Passo 4
Testando o extremo
x=-1 , a série fica
que também é uma série
p com
p=2>1 e converge absolutamente em
x=-1 .
Resposta
O raio de convergência é
R=1 e o intervalo de convergência é
l[-1,1r] .