Questão 4. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Dica para 4.(q): lembre que lim x 0 sin xx=1.
Dica para 4.® e 4.(o): lembre que 0 <= cos x <= 1, para todo x.
Dica para 4.(n): lembre que ln (n+1)-ln n=ln (n+1n).
0,1,0,0,1,0,0,0,1, ldots.

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência
an = 0,1,0,0,1,0,0,0,1,ldots
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é sequências e limite de sequência: uma sequência converge se todos os seus termos, a partir de algum índice, ficam arbitrariamente próximos de um mesmo número L.

Passo 2

Observamos o padrão de an: há um 1 em certas posições e 0 nos demais termos. Entre o k-ésimo 1 e o (k+1)-ésimo 1 sobram k+1 zeros. Assim, formam-se subsequências de zeros cada vez mais longas, mas aparecem infinitos uns espalhados.

Passo 3

Definimos a subsequência de índices onde an=0. Por exemplo, n=1,3,4,6,7,8,10,dots. Para essa subsequência,
limktoinftyank = 0
Definimos a subsequência de índices onde an=1. Por exemplo, n=2,5,9,14,dots. Para ela,
limktoinftyamk = 1

Passo 4

Como existe uma subsequência que tende a 0 e outra que tende a 1, não há um único valor L tal que todos os termos de an se aproximem de L. Logo, an não converge.

Resposta

A sequência diverge.

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