Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty (-1)^n , x^2n+1(2n+1)! .
O conteúdo principal aqui é o teste da razão (D’Alembert) aplicado a séries de potências.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
an = (-1)^n ,x^2n+1(2n+1)!
Pelo teste da razão, a série converge se
limntoinftyl|an+1anr|<1

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
l|an+1anr| =l|xr|^2(n+1)+1(2n+3)!,(2n+1)!l|xr|^2n+1 =l|xr|^2(2n+2)(2n+3)

Passo 4

Avaliaremos o limite da razão quando ntoinfty:
limntoinftyl|xr|^2(2n+2)(2n+3) =0
Como esse limite é 0<1 para todo xinR, a série converge para qualquer valor de x. Assim o raio de convergência é infinito.

Resposta

R = infty, intervalo de convergência: (-infty,infty) ê

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