Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado:
em
em
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente à trajetória de
no ponto
.
Informações dadas:
- A função vetorial é
. - O ponto indicado é
. - As componentes da curva são
e .
Objetivo claro: encontrar a reta tangente à curva parametrizada por
no ponto correspondente a
. Não se resolve nada ainda, só identificamos o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Ideia chave (explicação didática): para uma curva parametrizada por
e
, a derivada
dá o vetor tangente à curva em cada
. Esse vetor indica a direção da reta tangente. As derivadas
e
representam as taxas de variação de
e
em relação a
.
Aplicando isso ao nosso caso:
-
então . -
então .
Portanto
Isso significa que, no instante
, o vetor tangente tem componente horizontal
e componente vertical
.
Passo 3
Avaliar no ponto
: substituindo em
e em
,
Interpretação prática: o ponto de tangência é
e a direção da reta tangente é dada pelo vetor
. A inclinação (coeficiente angular) da reta é a razão entre a componente vertical e a componente horizontal do vetor tangente, desde que a componente horizontal não seja zero. Logo,
Em
temos
Passo 4
Construir a equação da reta com a forma ponto-inclinação: a equação da reta que passa por
com inclinação
é
Aqui
,
e
. Substituindo:
Simplificando:
Forma paramétrica alternativa (útil quando se trabalha com curvas paramétricas): usar um parâmetro novo
para a reta a partir do ponto
e do vetor direção
: