Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado:
g(t)=\left(t, t^{2}\\right) em g(1)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente à trajetória de g no ponto g(1).
Informações dadas:
  • A função vetorial é g(t)=\left(t, t^{2}\right).
  • O ponto indicado é g(1).
  • As componentes da curva são x(t)=t e y(t)=t^{2}.
Objetivo claro: encontrar a reta tangente à curva parametrizada por g(t) no ponto correspondente a t=1. Não se resolve nada ainda, só identificamos o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Ideia chave (explicação didática): para uma curva parametrizada por x(t) e y(t), a derivada \,g'(t)=(x'(t),y'(t)) dá o vetor tangente à curva em cada t. Esse vetor indica a direção da reta tangente. As derivadas x'(t) e y'(t) representam as taxas de variação de x e y em relação a t.
Aplicando isso ao nosso caso:
  • x(t)=t então x'(t)=1.
  • y(t)=t^{2} então y'(t)=2t.
Portanto
g'(t)=(1,2t).
Isso significa que, no instante t, o vetor tangente tem componente horizontal 1 e componente vertical 2t.

Passo 3

Avaliar no ponto t=1: substituindo em g e em g',
g(1)=\bigl(1,1\bigr), \qquad g'(1)=\bigl(1,2\bigr).
Interpretação prática: o ponto de tangência é \bigl(1,1\bigr) e a direção da reta tangente é dada pelo vetor \bigl(1,2\bigr). A inclinação (coeficiente angular) da reta é a razão entre a componente vertical e a componente horizontal do vetor tangente, desde que a componente horizontal não seja zero. Logo,
m=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2t}{1}.
Em t=1 temos
m=\frac{2\cdot 1}{1}=2.

Passo 4

Construir a equação da reta com a forma ponto-inclinação: a equação da reta que passa por (x_0,y_0) com inclinação m é
y-y_0=m(x-x_0).
Aqui x_0=1, y_0=1 e m=2. Substituindo:
y-1=2(x-1).
Simplificando:
y-1=2x-2\quad\Rightarrow\quad y=2x-1.
Forma paramétrica alternativa (útil quando se trabalha com curvas paramétricas): usar um parâmetro novo s para a reta a partir do ponto g(1) e do vetor direção g'(1):
x=1+s,\qquad y=1+2s,\quad s\in\mathbb{R}.

Resposta

y=2x-1
x=1+s,\\ y=1+2s,\\ s\in\mathbb{R}

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