Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado:
h(t)=(\operatorname{cosh} t, \operatorname{sinh} t, t) quando t=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada h e um valor de parâmetro onde queremos a reta tangente. Informações fornecidas:
  • A função vetorial é h(t)=(\operatorname{cosh} t,\operatorname{sinh} t,t).
  • O ponto onde precisamos a reta tangente corresponde a t=0.
    O que o enunciado pede:
  • Determinar a equação da reta tangente à trajetória de h(t) no ponto correspondente a t=0.

Passo 2

Encontrar o ponto da curva em t=0. Isso significa calcular h(0).
  • Lembrar que \operatorname{cosh} 0=\dfrac{e^{0}+e^{0}}{2}=1.
  • E \operatorname{sinh} 0=\dfrac{e^{0}-e^{0}}{2}=0.
    Portanto,
h(0)=(\operatorname{cosh} 0,\operatorname{sinh} 0,0)=(1,0,0).

Passo 3

Explicar como obter a direção da reta tangente: para uma curva parametrizada por h(t), a derivada h'(t) dá o vetor velocidade/gradiente que aponta na direção da tangente em cada t. Logo, avaliar h'(t) em t=0 nos dá o vetor direção da reta tangente no ponto pedido.

Passo 4

Calcular h'(t) componente a componente. Para isso é preciso saber as derivadas das funções hiperbólicas:
  • Definições úteis: \operatorname{cosh} t=\dfrac{e^{t}+e^{-t}}{2} e \operatorname{sinh} t=\dfrac{e^{t}-e^{-t}}{2}.
  • Derivadas: \dfrac{d}{dt}\operatorname{cosh} t=\operatorname{sinh} t e \dfrac{d}{dt}\operatorname{sinh} t=\operatorname{cosh} t. A derivada de t é 1.
    Aplicando isso:
h'(t)=(\operatorname{sinh} t,\operatorname{cosh} t,1).
Agora avaliar em t=0:
h'(0)=(\operatorname{sinh} 0,\operatorname{cosh} 0,1)=(0,1,1).

Passo 5

Construir a equação da reta tangente. A forma vetorial da reta tangente em t=0 é
\ell(s)=h(0)+s\,h'(0),
onde s é o parâmetro da reta (escolhe-se outro símbolo para não confundir com o parâmetro original t). Substituindo os valores que achamos:
\ell(s)=(1,0,0)+s(0,1,1).

Passo 6

Escrever formas equivalentes da reta para usar na prova:
  • Forma paramétrica (colocando as coordenadas explícitas):
\ell(s)=(1,\;s,\;s).
Isto significa \,x=1,\; y=s,\; z=s.
  • Forma cartesiana/relacional (eliminando o parâmetro s): como y=s e z=s, temos
x=1,\qquad y=z.
Observação prática: a reta passa por (1,0,0) e tem direção paralela ao vetor (0,1,1), portanto em qualquer ponto da reta a coordenada x é sempre 1 e as coordenadas y e z são iguais.

Passo 7

Resumo intuitivo e incentivo: a reta tangente sai do ponto (1,0,0) e “aponta” na direção (0,1,1). Na prova, bastaria calcular a posição h(0) e a derivada h'(0) e montar \ell(s)=h(0)+s\,h'(0). Vai dar certo — você consegue!

Resposta

\ell(s)=(1,0,0)+s(0,1,1)
ou, equivalentemente, \ell(s)=(1,\;s,\;s)
ou ainda x=1,\; y=z.

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