Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado:
quando
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva parametrizada
e um valor de parâmetro onde queremos a reta tangente. Informações fornecidas:
- A função vetorial é
. - O ponto onde precisamos a reta tangente corresponde a
.
O que o enunciado pede: - Determinar a equação da reta tangente à trajetória de
no ponto correspondente a .
Passo 2
Encontrar o ponto da curva em
. Isso significa calcular
.
- Lembrar que
. - E
.
Portanto,
Passo 3
Explicar como obter a direção da reta tangente: para uma curva parametrizada por
, a derivada
dá o vetor velocidade/gradiente que aponta na direção da tangente em cada
. Logo, avaliar
em
nos dá o vetor direção da reta tangente no ponto pedido.
Passo 4
Calcular
componente a componente. Para isso é preciso saber as derivadas das funções hiperbólicas:
- Definições úteis:
e . - Derivadas:
e . A derivada de é .
Aplicando isso:
Agora avaliar em
:
Passo 5
Construir a equação da reta tangente. A forma vetorial da reta tangente em
é
onde
é o parâmetro da reta (escolhe-se outro símbolo para não confundir com o parâmetro original
). Substituindo os valores que achamos:
Passo 6
Escrever formas equivalentes da reta para usar na prova:
- Forma paramétrica (colocando as coordenadas explícitas):
Isto significa
- Forma cartesiana/relacional (eliminando o parâmetro
): como e , temos
Observação prática: a reta passa por
e tem direção paralela ao vetor
, portanto em qualquer ponto da reta a coordenada
é sempre
e as coordenadas
e
são iguais.
Passo 7
Resumo intuitivo e incentivo: a reta tangente sai do ponto
e “aponta” na direção
. Na prova, bastaria calcular a posição
e a derivada
e montar
. Vai dar certo — você consegue!
Resposta
ou, equivalentemente,
ou ainda