Calcule \frac{d f}{d t} e \frac{d^{2} f}{d t^{2}} para a função f dada nos itens a seguir:
f(t)=\left(\operatorname{cosh} 2 t, \operatorname{sinh} \left(\sin \left(t^{2}+1\right)\right)\right)

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
f(t)=\bigl(\operatorname{cosh}(2t),\;\operatorname{sinh}\bigl(\sin(t^{2}+1)\bigr)\bigr)
e pede para calcular \dfrac{d f}{d t} e \dfrac{d^{2} f}{d t^{2}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • Primeiro componente: \operatorname{cosh}(2t).
  • Segunda componente: \operatorname{sinh}\bigl(\sin(t^{2}+1)\bigr).
    O objetivo é obter as derivadas primeira e segunda do vetor componente a componente.

Passo 2

Regra básica que vamos usar (explicação didática): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
f(t)=\bigl(f_{1}(t),\,f_{2}(t)\bigr),
então
\dfrac{d f}{d t}=\bigl(f_{1}'(t),\,f_{2}'(t)\bigr),
e análogo para a segunda derivada. Vou lembrar também derivadas elementares que usarei:
  • Derivada do seno: \dfrac{d}{dt}\sin(u(t))=\cos(u(t))\,u'(t) (regra da cadeia).
  • Derivada do \operatorname{cosh}: \dfrac{d}{dt}\operatorname{cosh}(u(t))=\operatorname{sinh}(u(t))\,u'(t).
  • Derivada do \operatorname{sinh}: \dfrac{d}{dt}\operatorname{sinh}(u(t))=\operatorname{cosh}(u(t))\,u'(t).
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dt}\bigl(a(t)b(t)\bigr)=a'(t)b(t)+a(t)b'(t).
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Derivada da primeira componente: f_{1}(t)=\operatorname{cosh}(2t).
Usando a regra da cadeia com u(t)=2t, e sabendo que \dfrac{d}{du}\operatorname{cosh}(u)=\operatorname{sinh}(u), temos
f_{1}'(t)=\operatorname{sinh}(2t)\cdot \dfrac{d}{dt}(2t).
Como \dfrac{d}{dt}(2t)=2, obtemos
f_{1}'(t)=2\operatorname{sinh}(2t).

Passo 4

Derivada da segunda componente: f_{2}(t)=\operatorname{sinh}\bigl(\sin(t^{2}+1)\bigr).
Aqui há várias composições. Nomeio as funções internas para aplicar a regra da cadeia de maneira clara:
u(t)=t^{2}+1,\qquad v(u)=\sin(u),\qquad w(v)=\operatorname{sinh}(v).
Então f_{2}(t)=w\bigl(v(u(t))\bigr). Pela regra da cadeia em cascata:
f_{2}'(t)=w'(v(u(t)))\cdot v'(u(t))\cdot u'(t).
Calculando cada derivada:
u'(t)=2t,
v'(u)=\cos(u),
w'(v)=\operatorname{cosh}(v).
Substituindo u(t)=t^{2}+1 e v(u)=\sin(u):
f_{2}'(t)=2t\cdot \operatorname{cosh}\bigl(\sin(t^{2}+1)\bigr)\cdot \cos(t^{2}+1).

Passo 5

Assim a primeira derivada do vetor é
\dfrac{d f}{d t}=\bigl(2\operatorname{sinh}(2t),\;2t\operatorname{cosh}(\sin(t^{2}+1))\cos(t^{2}+1)\bigr).
Faço uma pausa rápida: essa forma é produto de fatores no segundo componente (um fator 2t e outro composto), então na segunda derivada precisarei usar regra do produto e nova aplicação da cadeia.

Passo 6

Segunda derivada da primeira componente: já que f_{1}'(t)=2\operatorname{sinh}(2t), aplicando derivada novamente e a regra da cadeia:
f_{1}''(t)=2\cdot \dfrac{d}{dt}\operatorname{sinh}(2t)=2\cdot\bigl(\operatorname{cosh}(2t)\cdot 2\bigr)=4\operatorname{cosh}(2t).

Passo 7

Segunda derivada da segunda componente: escrevo f_{2}'(t) de forma explícita como produto de duas funções para aplicar a regra do produto de forma controlada:
f_{2}'(t)=A(t)\,D(t),
onde
A(t)=2t, \qquad D(t)=\operatorname{cosh}\bigl(\sin(t^{2}+1)\bigr)\cdot \cos(t^{2}+1).
Pela regra do produto:
f_{2}''(t)=A'(t)D(t)+A(t)D'(t).
Aqui A'(t)=2. Agora preciso calcular D'(t). Note que D(t) é produto de
B(t)=\operatorname{cosh}\bigl(\sin(t^{2}+1)\bigr) \qquad\text{e}\qquad C(t)=\cos(t^{2}+1).
Então
D'(t)=B'(t)C(t)+B(t)C'(t).

Passo 8

Calcular B'(t) e C'(t) separadamente (novamente cadeia):
Para B(t)=\operatorname{cosh}(\sin(u(t))) com u(t)=t^{2}+1, temos
B'(t)=\operatorname{sinh}(\sin(u(t)))\cdot \dfrac{d}{dt}\bigl(\sin(u(t))\bigr).
E \dfrac{d}{dt}\sin(u(t))=\cos(u(t))\cdot u'(t)=\cos(t^{2}+1)\cdot 2t. Portanto
B'(t)=\operatorname{sinh}(\sin(t^{2}+1))\cdot \cos(t^{2}+1)\cdot 2t.
Para C(t)=\cos(u(t)) com u(t)=t^{2}+1, temos
C'(t)=-\sin(u(t))\cdot u'(t)=-\sin(t^{2}+1)\cdot 2t.

Passo 9

Agora montamos D'(t):
D'(t)=\bigl(2t\,\operatorname{sinh}(\sin(t^{2}+1))\cos(t^{2}+1)\bigr)\cdot \cos(t^{2}+1) \;+\; \operatorname{cosh}(\sin(t^{2}+1))\cdot\bigl(-2t\sin(t^{2}+1)\bigr).
Simplificando os termos:
D'(t)=2t\,\operatorname{sinh}(\sin(t^{2}+1))\cos^{2}(t^{2}+1)\;-\;2t\,\operatorname{cosh}(\sin(t^{2}+1))\sin(t^{2}+1).

Passo 10

Volto para f_{2}''(t)=A'(t)D(t)+A(t)D'(t). Substituindo A'(t)=2, A(t)=2t, e os valores de D(t) e D'(t):
f_{2}''(t)=2\cdot\bigl(\operatorname{cosh}(\sin(t^{2}+1))\cos(t^{2}+1)\bigr)
\qquad{} + 2t\cdot\Bigl(2t\,\operatorname{sinh}(\sin(t^{2}+1))\cos^{2}(t^{2}+1)-2t\,\operatorname{cosh}(\sin(t^{2}+1))\sin(t^{2}+1)\Bigr).
Multiplicando os fatores nos termos do segundo somando:
f_{2}''(t)=2\operatorname{cosh}(\sin(t^{2}+1))\cos(t^{2}+1) \;+\;4t^{2}\operatorname{sinh}(\sin(t^{2}+1))\cos^{2}(t^{2}+1) \;-\;4t^{2}\operatorname{cosh}(\sin(t^{2}+1))\sin(t^{2}+1).

Passo 11

Juntando os resultados para as duas componentes, a segunda derivada do vetor é
\dfrac{d^{2} f}{d t^{2}}=\bigl(4\operatorname{cosh}(2t),\;2\operatorname{cosh}(\sin(t^{2}+1))\cos(t^{2}+1)+4t^{2}\operatorname{sinh}(\sin(t^{2}+1))\cos^{2}(t^{2}+1)-4t^{2}\operatorname{cosh}(\sin(t^{2}+1))\sin(t^{2}+1)\bigr).

Resposta

\dfrac{d f}{d t}=\bigl(2\operatorname{sinh}(2t),\;2t\operatorname{cosh}(\sin(t^{2}+1))\cos(t^{2}+1)\bigr)
\dfrac{d^{2} f}{d t^{2}}=\bigl(4\operatorname{cosh}(2t),\;2\operatorname{cosh}(\sin(t^{2}+1))\cos(t^{2}+1)+4t^{2}\operatorname{sinh}(\sin(t^{2}+1))\cos^{2}(t^{2}+1)-4t^{2}\operatorname{cosh}(\sin(t^{2}+1))\sin(t^{2}+1)\bigr)

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