Calcule
e
para a função
dada nos itens a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede para calcular
e
.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- Primeiro componente:
. - Segunda componente:
.
O objetivo é obter as derivadas primeira e segunda do vetor componente a componente.
Passo 2
Regra básica que vamos usar (explicação didática): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
então
e análogo para a segunda derivada. Vou lembrar também derivadas elementares que usarei:
- Derivada do seno:
(regra da cadeia). - Derivada do
: . - Derivada do
: . - Regra do produto:
.
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Derivada da primeira componente:
.
Usando a regra da cadeia com
, e sabendo que
, temos
Como
, obtemos
Passo 4
Derivada da segunda componente:
.
Aqui há várias composições. Nomeio as funções internas para aplicar a regra da cadeia de maneira clara:
Então
. Pela regra da cadeia em cascata:
Calculando cada derivada:
Substituindo
e
:
Passo 5
Assim a primeira derivada do vetor é
Faço uma pausa rápida: essa forma é produto de fatores no segundo componente (um fator
e outro composto), então na segunda derivada precisarei usar regra do produto e nova aplicação da cadeia.
Passo 6
Segunda derivada da primeira componente: já que
, aplicando derivada novamente e a regra da cadeia:
Passo 7
Segunda derivada da segunda componente: escrevo
de forma explícita como produto de duas funções para aplicar a regra do produto de forma controlada:
onde
Pela regra do produto:
Aqui
. Agora preciso calcular
. Note que
é produto de
Então
Passo 8
Calcular
e
separadamente (novamente cadeia):
Para com
, temos
Para
E
. Portanto
Para
com
, temos
Passo 9
Agora montamos
:
Simplificando os termos:
Passo 10
Volto para
. Substituindo
,
, e os valores de
e
:
Multiplicando os fatores nos termos do segundo somando:
Passo 11
Juntando os resultados para as duas componentes, a segunda derivada do vetor é