Determine a equação da reta tangente à trajetória de
no ponto dado:
em
.
Passo 1
O enunciado dá a curva (trajetória)
definida por
e pede: determinar a equação da reta tangente à trajetória no ponto correspondente a
.
Informações relevantes:
- A curva é uma função vetorial de uma variável real
em . - O ponto onde queremos a tangente é o ponto
. - Para achar a reta tangente, precisamos do ponto
e do vetor tangente .
Passo 2
Conceito necessário — o vetor tangente: para uma curva vetorial
de uma variável, a derivada
é obtida derivando componente a componente. O vetor
tem a interpretação geométrica de indicar a direção (e velocidade) da curva em cada ponto; em particular, a reta tangente em
passa pelo ponto
e tem direção dada por
.
Explicando a ideia de derivada componente a componente:
Se
Se
então
onde cada
é a derivada usual da função real
.
Passo 3
Calcular
para a curva dada, derivando cada componente:
- A primeira componente é
. A derivada é . - A segunda componente é
. A derivada é . - A terceira componente é
. A derivada é . - A quarta componente é
. A derivada é .
Portanto
Passo 4
Avaliar o vetor tangente em
:
Substituindo em
,
Substituindo
Passo 5
Calcular o ponto da curva em
:
Passo 6
Fórmula da reta tangente em termos desses dados: a reta tangente em
pode ser escrita em forma paramétrica com parâmetro
como
onde
. Aqui
é o ponto de passagem e
é o vetor direção.
Passo 7
Aplicando a fórmula com os valores calculados (não expandindo aqui para deixar a resposta final só na seção indicada): a reta tangente usa
e
. Em provas é comum apresentar tanto a forma vetorial paramétrica quanto as coordenadas componentes da reta.
Passo 8
Para fixar: se tivesse a curva em
,
em
, os passos seriam os mesmos:
,
então
, e a reta tangente seria
. Isso ajuda a visualizar o que fizemos em quatro dimensões.
Resposta
equivalentemente, em coordenadas: