Determine a equação da reta tangente à trajetória de \gamma no ponto dado:
f(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}, t^{4}\right) em t=1.

Passo 1

O enunciado dá a curva (trajetória) \gamma definida por
\gamma(t)=\left(t,\;t^{2},\;t^{3},\;t^{4}\right)
e pede: determinar a equação da reta tangente à trajetória no ponto correspondente a t=1.
Informações relevantes:
  • A curva é uma função vetorial de uma variável real t em \mathbb{R}^{4}.
  • O ponto onde queremos a tangente é o ponto \gamma(1).
  • Para achar a reta tangente, precisamos do ponto \gamma(1) e do vetor tangente \gamma'(1).

Passo 2

Conceito necessário — o vetor tangente: para uma curva vetorial \gamma(t) de uma variável, a derivada \gamma'(t) é obtida derivando componente a componente. O vetor \gamma'(t) tem a interpretação geométrica de indicar a direção (e velocidade) da curva em cada ponto; em particular, a reta tangente em t=t_{0} passa pelo ponto \gamma(t_{0}) e tem direção dada por \gamma'(t_{0}).
Explicando a ideia de derivada componente a componente:
Se
\gamma(t)=\big(\gamma_{1}(t),\gamma_{2}(t),\gamma_{3}(t),\gamma_{4}(t)\big),
então
\gamma'(t)=\big(\gamma_{1}'(t),\gamma_{2}'(t),\gamma_{3}'(t),\gamma_{4}'(t)\big),
onde cada \gamma_{i}'(t) é a derivada usual da função real \gamma_{i}(t).

Passo 3

Calcular \gamma'(t) para a curva dada, derivando cada componente:
  • A primeira componente é \gamma_{1}(t)=t. A derivada é \gamma_{1}'(t)=1.
  • A segunda componente é \gamma_{2}(t)=t^{2}. A derivada é \gamma_{2}'(t)=2t.
  • A terceira componente é \gamma_{3}(t)=t^{3}. A derivada é \gamma_{3}'(t)=3t^{2}.
  • A quarta componente é \gamma_{4}(t)=t^{4}. A derivada é \gamma_{4}'(t)=4t^{3}.
Portanto
\gamma'(t)=\big(1,\;2t,\;3t^{2},\;4t^{3}\big).

Passo 4

Avaliar o vetor tangente em t=1:
Substituindo t=1 em \gamma'(t),
\gamma'(1)=\big(1,\;2\cdot 1,\;3\cdot 1^{2},\;4\cdot 1^{3}\big)=\big(1,\;2,\;3,\;4\big).

Passo 5

Calcular o ponto da curva em t=1:
\gamma(1)=\big(1,\;1^{2},\;1^{3},\;1^{4}\big)=\big(1,\;1,\;1,\;1\big).

Passo 6

Fórmula da reta tangente em termos desses dados: a reta tangente em t=1 pode ser escrita em forma paramétrica com parâmetro s como
\ell(s)=\gamma(1)+s\,\gamma'(1),
onde s\in\mathbb{R}. Aqui \gamma(1) é o ponto de passagem e \gamma'(1) é o vetor direção.

Passo 7

Aplicando a fórmula com os valores calculados (não expandindo aqui para deixar a resposta final só na seção indicada): a reta tangente usa \gamma(1)=\big(1,1,1,1\big) e \gamma'(1)=\big(1,2,3,4\big). Em provas é comum apresentar tanto a forma vetorial paramétrica quanto as coordenadas componentes da reta.

Passo 8

Para fixar: se tivesse a curva em \mathbb{R}^{2}, \tilde\gamma(t)=(t,t^{2}) em t=1, os passos seriam os mesmos: \tilde\gamma(1)=(1,1), \tilde\gamma'(t)=(1,2t) então \tilde\gamma'(1)=(1,2), e a reta tangente seria (1,1)+s(1,2)=(1+s,1+2s). Isso ajuda a visualizar o que fizemos em quatro dimensões.

Resposta

\ell(s)=\big(1,1,1,1\big)+s\big(1,2,3,4\big),\; s\in\mathbb{R}
equivalentemente, em coordenadas:
\begin{cases} x_{1}=1+s,\\[4pt] x_{2}=1+2s,\\[4pt] x_{3}=1+3s,\\[4pt] x_{4}=1+4s. \end{cases}]

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