Coloque a equação na forma reduzida, classifique a superfície e faça o esboço.
x^{2}+4 y^{2}+z^{2}-2 x=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+4y^{2}+z^{2}-2x=0
e pede três coisas: (1) colocar a equação na forma reduzida, (2) classificar a superfície resultante e (3) fazer o esboço (dar informações suficientes para desenhar). Essas são as únicas informações fornecidas.

Passo 2

Vamos começar transformando a equação em uma forma padrão por meio de “completar o quadrado” na variável x. Lembrete rápido sobre completar o quadrado (aula curta):
  • Se tiver uma expressão quadrática em x do tipo x^{2}+bx, pode-se escrever
x^{2}+bx=\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}.
  • No nosso caso, a parte em x é x^{2}-2x. Aqui b=-2, então \dfrac{b}{2}=-1 e
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1.
Esse é o truque: transformar x^{2}-2x num quadrado perfeito (x-1)^{2} menos um número.

Passo 3

Substituindo a identidade obtida na equação original:
x^{2}+4y^{2}+z^{2}-2x = (x-1)^{2}-1 + 4y^{2}+z^{2}.
Como a equação original iguala isso a zero, temos
(x-1)^{2}-1 + 4y^{2}+z^{2}=0.
Isolando os quadrados à esquerda:
(x-1)^{2} + 4y^{2} + z^{2} = 1.

Passo 4

Agora colocamos na forma reduzida clássica de quadricas (cada termo quadrático dividido pelo respectivo quadrado do semi-eixo). Para 4y^{2} escrevemos y^{2}/(1/4), porque 4y^{2}=y^{2}/(1/4). Assim,
\frac{(x-1)^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{1/4} + \frac{z^{2}}{1} = 1.
Outra forma mais direta, destacando os semi-eixos, é
(x-1)^{2}+4y^{2}+z^{2}=1.

Passo 5

Interpretação e classificação (aula curta sobre identificação de superfícies):
  • Uma equação da forma
\frac{(x-x_0)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_0)^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-z_0)^{2}}{c^{2}}=1
com a^{2},b^{2},c^{2}>0 representa um elipsoide centrado em (x_0,y_0,z_0), cujos semi-eixos têm comprimentos a, b e c.
  • No nosso caso, comparando com a forma padrão, o centro é (1,0,0) e os semi-eixos são
a=1,\qquad b=\frac{1}{2},\qquad c=1,
porque \dfrac{(x-1)^{2}}{1}+\dfrac{y^{2}}{(1/2)^{2}}+\dfrac{z^{2}}{1}=1.
Portanto a superfície é um elipsoide com eixos alinhados aos eixos coordenados.

Passo 6

Para fazer o esboço (como desenhar à mão — dicas práticas):
  • Centro: (1,0,0).
  • Extensões ao longo de cada eixo:
    • Direção x: vai de x=1-a=0 até x=1+a=2. Então interceptos em x-eixo são x=0 e x=2 (quando y=z=0).
    • Direção y: vai de y=-b=-\tfrac{1}{2} até y=+\tfrac{1}{2} (quando x=1,z=0).
    • Direção z: vai de z=-1 até z=1 (quando x=1,y=0).
  • Traços (seções) úteis para desenhar:
    • Plano y=0: seção é o círculo (x-1)^{2}+z^{2}=1 (raio 1, centrado em (1,0,0) no plano y=0).
    • Plano z=0: seção é a elipse (x-1)^{2}+4y^{2}=1 (semi-eixos 1 em x e 1/2 em y).
    • Plano x=1: seção é a elipse 4y^{2}+z^{2}=1 (semi-eixos 1/2 em y e 1 em z).
  • Esboço prático: desenhar os eixos coordenados, marcar o centro em x=1 e desenhar uma elipse alongada nos sentidos indicados pelos semi-eixos; usar o círculo na seção y=0 e a elipse em z=0 como guias.

Resposta

\displaystyle (x-1)^{2}+4y^{2}+z^{2}=1
Elipsoide centrado em (1,0,0) com semi-eixos a=1,\; b=\tfrac{1}{2},\; c=1 (eixos alinhados aos eixos coordenados).
Interceptos: x=0,2; y=\pm\tfrac{1}{2} (em x=1,z=0); z=\pm1 (em x=1,y=0).

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