Coloque a equação na forma reduzida, classifique a superfície e faça o esboço.
;
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede três coisas: (1) colocar a equação na forma reduzida, (2) classificar a superfície resultante e (3) fazer o esboço (dar informações suficientes para desenhar). Essas são as únicas informações fornecidas.
Passo 2
Vamos começar transformando a equação em uma forma padrão por meio de “completar o quadrado” na variável
. Lembrete rápido sobre completar o quadrado (aula curta):
- Se tiver uma expressão quadrática em
do tipo , pode-se escrever
- No nosso caso, a parte em
é . Aqui , então e
Esse é o truque: transformar
num quadrado perfeito
menos um número.
Passo 3
Substituindo a identidade obtida na equação original:
Como a equação original iguala isso a zero, temos
Isolando os quadrados à esquerda:
Passo 4
Agora colocamos na forma reduzida clássica de quadricas (cada termo quadrático dividido pelo respectivo quadrado do semi-eixo). Para
escrevemos
, porque
. Assim,
Outra forma mais direta, destacando os semi-eixos, é
Passo 5
Interpretação e classificação (aula curta sobre identificação de superfícies):
- Uma equação da forma
com
representa um elipsoide centrado em
, cujos semi-eixos têm comprimentos
,
e
.
- No nosso caso, comparando com a forma padrão, o centro é
e os semi-eixos são
porque
.
Portanto a superfície é um elipsoide com eixos alinhados aos eixos coordenados.
Portanto a superfície é um elipsoide com eixos alinhados aos eixos coordenados.
Passo 6
Para fazer o esboço (como desenhar à mão — dicas práticas):
- Centro:
. - Extensões ao longo de cada eixo:
- Direção
: vai de até . Então interceptos em -eixo são e (quando ). - Direção
: vai de até (quando ). - Direção
: vai de até (quando ).
- Direção
- Traços (seções) úteis para desenhar:
- Plano
: seção é o círculo (raio , centrado em no plano ). - Plano
: seção é a elipse (semi-eixos em e em ). - Plano
: seção é a elipse (semi-eixos em e em ).
- Plano
- Esboço prático: desenhar os eixos coordenados, marcar o centro em
e desenhar uma elipse alongada nos sentidos indicados pelos semi-eixos; usar o círculo na seção e a elipse em como guias.
Resposta
Elipsoide centrado em
Interceptos: