Determine a equação da reta tangente à trajetória de
no ponto dado:
Passo 1
O enunciado dá a curva (trajetória)
definida por
e pede a equação da reta tangente à trajetória no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função vetorial
tem três componentes: , , . - O ponto de interesse é
. - O objetivo é achar a reta tangente à curva nesse ponto (ou seja, encontrar o ponto na curva correspondente a algum
e o vetor direção , então escrever a reta).
Passo 2
Primeiro preciso achar o parâmetro
tal que
.
Da terceira componente temos imediatamente
Verificação das outras componentes com
:
- A primeira componente fica
- A segunda componente fica
Portanto
corresponde ao ponto dado; tudo consistente.
Passo 3
Agora preciso do vetor tangente, que é a derivada
. Vou derivar cada componente usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Regra do produto: se
então
.
Regra da cadeia: se
então
, análogo para
.
Aplicando componente a componente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Logo, a derivada vetorial é
Passo 4
Avalio
em
. Primeiro calculo
e
:
Substituindo em cada componente de
:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto o vetor tangente no ponto é
Explicação rápida: esse vetor fornece a direção da reta tangente. Podemos multiplicá-lo por qualquer escalar não nulo — a direção permanece a mesma.
Passo 5
Fórmula da reta tangente em forma vetorial: se
é o ponto de posição
e
é
, então a reta é
Aqui
e
. Assim a equação paramétrica da reta tangente, tomando parâmetro
, é
Podemos também escrever a forma simétrica (quando as componentes do vetor direção não são zero):
Resposta
ou em forma simétrica