Determine a equação da reta tangente à trajetória de \gamma no ponto dado:
f(t)=(t \cos (2 \pi t), t \sin (2 \pi t), 4 t), \mathrm{em}\left(0, \frac{1}{4}, 1\right) ;

Passo 1

O enunciado dá a curva (trajetória) \gamma definida por
\gamma(t)=\bigl(t\cos(2\pi t),\; t\sin(2\pi t),\; 4t\bigr)
e pede a equação da reta tangente à trajetória no ponto \bigl(0,\tfrac{1}{4},1\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função vetorial \gamma(t) tem três componentes: x(t)=t\cos(2\pi t), y(t)=t\sin(2\pi t), z(t)=4t.
  • O ponto de interesse é \bigl(0,\tfrac{1}{4},1\bigr).
  • O objetivo é achar a reta tangente à curva nesse ponto (ou seja, encontrar o ponto na curva correspondente a algum t_0 e o vetor direção \gamma'(t_0), então escrever a reta).

Passo 2

Primeiro preciso achar o parâmetro t_0 tal que \gamma(t_0)=\bigl(0,\tfrac{1}{4},1\bigr).
Da terceira componente temos imediatamente
4t_0 = 1 \quad\Rightarrow\quad t_0 = \tfrac{1}{4}.
Verificação das outras componentes com t_0=\tfrac{1}{4}:
  • A primeira componente fica
t_0\cos(2\pi t_0) = \tfrac{1}{4}\cos\!\bigl(2\pi\cdot\tfrac{1}{4}\bigr)=\tfrac{1}{4}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\tfrac{1}{4}\cdot 0 = 0.
  • A segunda componente fica
t_0\sin(2\pi t_0)=\tfrac{1}{4}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\tfrac{1}{4}\cdot 1 = \tfrac{1}{4}.
Portanto t_0=\tfrac{1}{4} corresponde ao ponto dado; tudo consistente.

Passo 3

Agora preciso do vetor tangente, que é a derivada \gamma'(t). Vou derivar cada componente usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Regra do produto: se u(t)=a(t)b(t) então u'(t)=a'(t)b(t)+a(t)b'(t).
Regra da cadeia: se b(t)=\cos(2\pi t) então b'(t)=-\sin(2\pi t)\cdot (2\pi), análogo para \sin(2\pi t).
Aplicando componente a componente:
  • Para x(t)=t\cos(2\pi t):
x'(t)=1\cdot\cos(2\pi t) + t\cdot\bigl(-\sin(2\pi t)\cdot 2\pi\bigr) =\cos(2\pi t) - 2\pi t\sin(2\pi t).
  • Para y(t)=t\sin(2\pi t):
y'(t)=1\cdot\sin(2\pi t) + t\cdot\bigl(\cos(2\pi t)\cdot 2\pi\bigr) =\sin(2\pi t) + 2\pi t\cos(2\pi t).
  • Para z(t)=4t:
z'(t)=4.
Logo, a derivada vetorial é
\gamma'(t)=\bigl(\cos(2\pi t)-2\pi t\sin(2\pi t),\; \sin(2\pi t)+2\pi t\cos(2\pi t),\; 4\bigr).

Passo 4

Avalio \gamma'(t) em t_0=\tfrac{1}{4}. Primeiro calculo \cos(2\pi t_0) e \sin(2\pi t_0):
\cos\!\bigl(2\pi\cdot\tfrac{1}{4}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,\qquad \sin\!\bigl(2\pi\cdot\tfrac{1}{4}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
Substituindo em cada componente de \gamma'(t_0):
  • Primeira componente:
\cos(2\pi t_0)-2\pi t_0\sin(2\pi t_0)=0 - 2\pi\cdot\tfrac{1}{4}\cdot 1 = -\tfrac{\pi}{2}.
  • Segunda componente:
\sin(2\pi t_0)+2\pi t_0\cos(2\pi t_0)=1 + 2\pi\cdot\tfrac{1}{4}\cdot 0 = 1.
  • Terceira componente:
4.
Portanto o vetor tangente no ponto é
\gamma'\!\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\; 1,\; 4\bigr).
Explicação rápida: esse vetor fornece a direção da reta tangente. Podemos multiplicá-lo por qualquer escalar não nulo — a direção permanece a mesma.

Passo 5

Fórmula da reta tangente em forma vetorial: se P_0 é o ponto de posição \gamma(t_0) e v é \gamma'(t_0), então a reta é
r(s)=P_0 + s\,v,\qquad s\in\mathbb{R}.
Aqui P_0=\bigl(0,\tfrac{1}{4},1\bigr) e v=\bigl(-\tfrac{\pi}{2},1,4\bigr). Assim a equação paramétrica da reta tangente, tomando parâmetro s, é
\begin{cases} x(s)=0 - \dfrac{\pi}{2}\,s = -\dfrac{\pi}{2}s,\\[6pt] y(s)=\dfrac{1}{4} + 1\cdot s = \dfrac{1}{4} + s,\\[6pt] z(s)=1 + 4s. \end{cases}
Podemos também escrever a forma simétrica (quando as componentes do vetor direção não são zero):
\frac{x-0}{-\tfrac{\pi}{2}} = \frac{y-\tfrac{1}{4}}{1} = \frac{z-1}{4}.]

Resposta

\displaystyle \text{Reta: }\begin{cases} x(s)=-\dfrac{\pi}{2}s,\\[6pt] y(s)=\dfrac{1}{4}+s,\\[6pt] z(s)=1+4s, \end{cases}\quad s\in\mathbb{R}
ou em forma simétrica
\displaystyle \frac{x}{-\tfrac{\pi}{2}}=\frac{y-\tfrac{1}{4}}{1}=\frac{z-1}{4}]

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